Задачи по линейной алгебре и геометрии. Панов А.Н. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

2) L
1
: x
1
= 2 + t, x
2
= −1 − 2t, x
3
= 2 + 2t, x
4
= 1 − t, L
2
: x
1
= 3 − t,
x
2
= 1 + 2t, x
3
= −1 − 2t, x
4
= 2 + t.
14.15. Найти угол между вектором
−→
AB и плоскостью Γ, где
1) A = (1, 2, 2, 3), B = (4, 0, 0, 2), Γ: x
1
= 1 + t
1
, x
2
= 2 + t
2
, x
3
= −t
1
+ t
2
,
x
4
= 3;
2) A = (0, 1, −1, 0, 1), B = (3, 1, 0, 1, 2), Γ: x
1
= t
1
+ t
2
, x
2
= 5, x
3
= −t
2
,
x
4
= −t
1
+ t
2
, x
5
= 2 + t
1
;
14.16. Найти расстояние между плоскостями Γ
1
и Γ
2
, где Γ
1
: 2x
1
− x
3
+
3x
4
= 0, 2x
1
−2x
2
+ 3x
3
−3x
4
= 8 и Γ
2
: x
2
−3x
3
−2x
4
= 2, x
1
−x
3
−x
4
= 0.
§15. Тензоры
15.1. Найти значение F (v, f) тензора F = e
1
⊗ e
2
+ e
2
⊗ (e
1
+ 3e
3
), где
v = e
1
+ 5e
2
+ 4e
3
, f = e
1
+ e
2
+ e
3
.
15.2. Найти значение тензора A ⊗ B − B ⊗ A от набора (v
1
, . . . , v
5
), где
1) A = e
1
⊗e
2
+ e
2
⊗e
3
+ e
2
⊗e
2
, B = e
1
⊗e
1
⊗(e
1
−e
3
), v
1
= e
1
, v
2
= e
1
+ e
2
,
v
3
= e
2
+ e
3
, v
4
= v
5
= e
2
;
2) A = e
1
⊗ e
2
+ e
2
⊗ e
3
+ e
3
⊗ e
1
, все координаты тензора B равны 1 и
v
1
= e
1
+ e
2
, v
2
= e
2
+ e
3
, v
3
= e
3
+ e
1
, v + 4 = v
5
= e
2
.
15.3. Найти значение F (v, v, v, f, f) тензора F ∈ T
2
3
(V ), если все коорди-
наты тензора F равны 3, v = e
1
+ 2e
2
+ 3e
3
+ 4e
4
, f = e
1
− e
4
.
15.4. Пусть n = 4 и A = e
1
⊗e
2
+e
2
⊗e
3
+e
3
⊗e
4
∈ T
1
1
(V ). Найти все такие
a) f ∈ V
∗
, что A(v, f) = 0 для любого v ∈ V ;
b) v ∈ V , что A(v, f) = 0 для любого f ∈ V
∗
.
15.5. Найти ранг билинейных функций, представленных тензорами:
1) (e
1
+ e
2
) ⊗ (e
1
+ e
3
) − e
1
⊗ e
1
− e
2
⊗ e
2
;
2) (e
1
− 2e
3
) ⊗ (e
1
+ 3e
2
− e
4
) + (e
1
− 2e
3
) ⊗ e
4
;
3) (e
1
+ e
3
) ⊗ (e
2
+ e
4
) − (e
2
− e
4
) ⊗ (e
1
− e
3
).
15.6. Оператор φ : V → V представлен тензором Φ ∈ T
1
1
(V ). Вычислить
φ(v), если
1) Φ = e
1
⊗ e
3
, v = e
1
+ e
2
+ e
3
+ e
4
;
2) Φ = (e
1
+ e
2
) ⊗ (e
3
+ e
4
), v = 2e
1
+ 3e
2
+ 2e
3
+ 3e
4
.
15.7. Оператор φ : V → V представлен тензором Φ ∈ T
1
1
(V ). Каким тен-
зором представляется оператор φ
2
, если:
1) Φ = (2e
1
− e
3
) ⊗ (e
1
+ e
2
);
2) Φ = e
1
⊗ e
2
+ (e
1
+ 2e
2
) ⊗ e
3
.
18

Страницы