Задачи по линейной алгебре и геометрии. Панов А.Н. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

15.8. Найти координату ˜a
12
123
тензора A ∈ T
2
3
(V ), все координаты которого
равны 2, в базисе
(˜e
1
, ˜e
2
, ˜e
3
) = (e
1
, e
2
, e
3
)
1 2 3
0 1 2
0 0 1
.
15.9. Найти координаты
1) ˜a
1
12
тензора a = e
1
⊗ e
2
⊗ (e
1
+ e
2
) ∈ T
1
2
(V ) в базисе
(˜e
1
, ˜e
2
) = (e
1
, e
2
)
1 1
2 3
.
2) ˜a
12
1
тензора a ∈ T
2
1
(V ), все координаты которого равны 1, в базисе
(˜e
1
, ˜e
2
) = (e
1
, e
2
)
1 2
2 5
.
3) ˜a
12
31
тензора a = e
2
⊗ e
1
⊗ e
3
⊗ e
1
+ e
3
⊗ e
3
⊗ e
1
⊗ e
2
∈ T
2
2
(V ) в базисе
(˜e
1
, ˜e
2
, ˜e
3
) = (e
1
, e
2
, e
3
)
1 0 0
2 1 0
3 2 1
.
15.10. Найти свёртку тензора
1) (e
1
+ 3e
2
− e
3
) ⊗ (e
1
− 2e
3
+ 3e
4
) − (e
1
+ e
3
) ⊗ (e
1
− 3e
3
+ e
4
);
2) (e
1
+ 2e
2
+ 3e
3
) ⊗ (e
1
+ e
2
− 2e
3
) − (e
1
− e
2
+ e
4
) ⊗ (e
2
− 2e
3
− 3e
4
);
3) e
1
⊗(e
1
+ e
2
+ e
3
+ e
4
) + e
2
⊗(e
1
+ 2e
2
+ 2
3
+ 4e
4
) + 2e
3
⊗(e
1
−e
2
−e
4
).
15.11. Найти жорданову форму матрицы оператора φ ⊗ ψ, если матрицы
операторов φ и ψ имеют жордановы формы
1)
1 1
0 1
,
1 0 0
0 2 0
0 0 3
; 2)
1 1
0 1
,
2 1
0 2
; 3)
1 1
0 1
,
0 1 0
0 0 1
0 0 0
.
15.12. Доказать, что 1) Tr(φ ⊗φ) = (Tr(φ))
2
, 2) det(φ ⊗φ) = (det φ)
2n
, где
n = dim V .
15.13. Вычислить
1) (e
1
+ 2e
2
+ 3e
3
) ∧ (e
1
− e
2
+ 3e
3
) + (e
1
− 3e
3
) ∧ (2e
1
+ 3e
2
+ e
3
);
2) a ∧ a, где a = e
1
∧ e
2
+ e
2
∧ e
3
+ e
3
∧ e
4
;
3) (2e
1
+ 3e
2
+ e
3
) ∧ (e
1
+ 2e
2
− 3e
3
) ∧ (e
1
+ 3e
2
+ 2e
3
);
4)(2e
1
− 3e
2
+ 5e
3
+ 4e
4
) ∧ (−5e
1
+ 7e
2
− 9e
3
− 6e
4
) ∧ (e
1
− e
2
+ 2e
3
+ e
4
) ∧
(2e
1
+ 4e
2
+ 7e
3
+ 2e
4
).
19

Страницы