Задачи по линейной алгебре и геометрии. Панов А.Н. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

r
1
(t) = (1 + t, 1 + 2t, 1 + 3t), r
2
= (2t − 1, t
2
− 3t + 3, t
3
+ 7t − 7);
2) ω = (x + y)dx ∧ dy + xzdx ∧ dz + yzdy ∧ dz, A = (1, −2, 1),
r
1
(t) = (e
t
, e
2t
− 3, e
−t
), r
2
= (2t
2
− 1, t − 3, 2t − 1);
3) ω = xyzdx ∧ dy ∧ dz, A = (1, 1, 2),
r
1
(t) = (t, t, t + 1), r
2
= (t, 3t − 2, 3t − 1), r
3
= (−t
2
+ 2, 3t + 4, 2t + 4);
4) ω = (x
1
+x
2
+x
3
)dx
1
∧dx
2
∧dx
3
+x
1
x
2
x
4
dx
2
∧dx
3
∧dx
4
, A = (1, 1, 1, 1),
r
1
(t) = (e
t
, e
t
, e
t
, e
2t
), r
2
(t) = (e
t
, e
2t
, e
2t
, e
2t
), r
3
= (t, t
2
, 3t − 2, t);
5) ω = (x
1
−x
3
)dx
1
∧dx
2
∧dx
3
+(x
2
+x
4
)dx
2
∧dx
3
∧dx
4
, A = (1, −1, −1, −1),
r
1
(t) = (e
t
, e
t
− 2, e
t
− 2, e
6t
− 2), r
2
(t) = (t + 1, 2t − 1, 2t − 1, 11t − 1),
r
3
= (t
2
− t + 1, 2t − 3, 3t − 4, 14t − 15).
15.19. Вычислить значение формы ω от набора векторных полей:
1) ω = yzdx + xzdy + xydz, v = x
∂
∂x
+ y
∂
∂y
+ z
∂
∂z
;
2) ω = zdx ∧ dy + xdy ∧ dz, v
1
= x
∂
∂x
+ y
∂
∂y
+ z
∂
∂z
, v
2
=
∂
∂x
+ 2
∂
∂y
+ 3
∂
∂z
.
15.20. Вычислить коммутаторы следующих векторных полей:
1) v
1
=
d
dx
, v
2
= x
d
dx
, v
3
= x
2
d
dx
;
2) w
1
= x
∂
∂x
− y
∂
∂y
, w
2
= y
∂
∂x
, w
3
= x
∂
∂y
.
§16. Задачи по топологии и теории многообразий
Обозначения : A - замыкание A, Int(A) – внутренность A, Γ(A) – граница
A.
1. Найти A, Int(A), Γ(A) в R
евкл.
, R
дискр.
, R
трив.
, R
фреше
для следую-
щих подмножеств (a, b], Z, {
1
n
: n ∈ Z}, {1, 2, 3}.
2. Доказать, что следующие семейства подмножеств R
2
задают топологию:
a) множества симметричные относительно нуля, b) множества симметрич-
ные относительно некоторой прямой {(x, 0), x ∈ R}. Найти A, Int(A), Γ(A)
для следующих множеств {(0, 0)}, {(1, 0)}, {y = x − 2}.
3. a) Доказать, что семейство подмножеств {(a, +∞), a ∈ R} является то-
пологией на R. b)Доказать, что семейство Λ подмножеств {[a, +∞), a ∈ R}
не является топологией на R. Какие множества являются открытыми с са-
мой слабой топологии, содержащей Λ.
21

Страницы