Задачи по линейной алгебре и геометрии. Панов А.Н. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

19. Пусть p простое число. Обозначим через ν(n) показатель максималь-
ной степени p, на которую делится n. Положим ν(
n
m
) = ν(n) − ν(m). До-
казать, что любого ρ > 0 формула kxk = ρ
ν(x)
определяет норму на мно-
жестве рациональных чисел Q (p-адическая норма).
20. Пусть X = {1, 2, 3, 4}. Будут ли следующие семейства подмножеств
базами топологии в X :
a) S = {{1, 2}, {2, 3}}, b) S = {{1, 2}, {2}, {2, 3}, {3}, {3, 4}}.
Дать описание соответствующих топологий. Найти замыкание, внутрен-
ность и границу для {1, 4}, {2, 3}.
21. Дать описание топологий a) R
евкл.
× R
евкл.
, b) R
евкл.
× R
дискр.
,
c) R
фреше
× R
трив.
; d) доказать, что топология R
фреше
× R
фреше
не
совпадает с R
2
зар.
.
22. Пусть X = {1, 2, 3}, Y = {1, 2} и T
X
= {∅, X, {1}, {1, 2}}, T
Y
=
{∅, Y, {1}} топологии на X, Y . Какие множества являются открытыми в
X ×Y . Найти замыкание и внутренность множества a) {(1, 2)}, b) {(1, 1)},
c) {(3, 1)}.
23. Найти индуцированную топологию с R
евкл.
, R
дискр.
, R
трив.
, R
фреше
на Z, A = {1, 2, 3}, [a, b].
24. Пусть X = {1, 2, 3, 4}, T = {∅, X, {1}, {1, 2}, {2, 3, 4}, {2}}. Какие
множества открыты в индуцированной топологии на a) A = {1, 2, 4},
b) A = {1, 2, 3}. Найти замыкание и внутренность для {1} и {1, 2} в каж-
дом из этих подмножеств.
25. Доказать, что любые два интервала [a, b] и [c, d] на R
евкл.
гомеоморф-
ны.
26. Доказать, что любой интервал (a, b) гомеоморфен R в евклидовой то-
пологии.
27. Д оказать, что (a, b) и (c, +∞) на R
евкл.
гомеоморфны.
28. Какие из следующих функций sin x, sgnx, x
n
+a
1
x
n−1
+. . . a
n
непрерыв-
ны в следующих топологиях a) R
евкл.
→ R
евкл.
, b) R
евкл.
→ R
фреше
,
c) R
фреше
→ R
евкл.
, b) R
фреше
→ R
фреше
.
29. Д оказать, что открытые квадрат и круг гомеоморфны.
30. Д оказать, что открытый шар на плоскости и R
2
евкл.
гомеоморфны.
31. Доказать, что f
−1
(A) ⊃ f
−1
(A) для любого непрерывного отображения
f : X → Y и подмножества A ⊂ Y . Привести пример, когда подмножества
различны.
23

Страницы