Задачи по линейной алгебре и геометрии. Панов А.Н. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

32. Какие из следующих топологических пространств являются отдели-
мыми (компакными, связными) : a)R
евкл.
, b) R
дискр.
, c) R
дискр.
, d)
R
дискр.
, e) R
n
зар.
, f) X={1,2,3,4} с топологией из задачи 5, 6) X={1,2,3,4}
с топологий из задачи 6.
33. Какие из перечисленных ниже множеств R
евкл.
и R
2
евкл.
компактны
Q, Z, {1,
1
2
,
1
3
, . . .}, {0, 1,
1
2
,
1
3
, . . .}, {(x, y)| x
2
+ y
2
≤ 1}, {(x, y)| x
2
+ y
2
≥ 1}.
34.Классифицировать все компактные кривые и поверхности второго по-
рядка.
35. Являются ли компактными топологическое пространство из a) задачи
2, b) задачи 3.
36. Доказать что матричная группа a) O(n, R) , b) U(n) является компак-
том.
37. Доказать, что матричные группы GL(n), SL(n) не являются компак-
тами.
38. Какие из кривых(поверхностей) второго порядка являются связными.
39. Доказать связность окружности, сферы, плоскости, цилиндра, тора,
бутылки Клейна.
40.1 Доказать, что матричные группы a)GL(n, C), b) SO(n, R), d) U(n),
e) SU(n) являются связными. Найти связные компоненты группы O(n, R).
40.2. Найти связные компоненты групп GL(n, R). Указание: воспользо-
ваться разложением A = UDN произвольного элемента A ∈ GL(n, R), в
котором U ∈ O(n, R), D диагональная матрица с положительными эле-
ментами и N унипотентная треугольная матрица.
41.3. Доказать, связность матричной группы SL(n) над полями R и C.
40.4. Какие из перечисленных матричных групп являются односвязными.
41. Доказать, что отрезок и квадрат не гомеоморфны.
42. Доказать, что S
1
, [a, b], (a, b], (a, b) попарно не гомеоморфны.
43. Какие из букв А,Б,В,М,С русского алфавита гомеоморфны.
44. Доказать, что буквы A, P, Q, R латинского алфавита попарно не го-
меоморфны.
45. Доказать, что множество S
p,q
= {x ∈ R
n
| x
2
1
+. . .+x
2
p
−x
2
p+1
−. . .−x
2
p+q
=
1} гомеоморфна S
p−1
× R
q
(в евклидовой топологии).
46. Пусть X = {0, 1, 2}, Y = {1, 2} и φ : X → Y
дискр.
, для которого
φ(0) = φ(1) = 1, φ(2) = 2. Описать все топологии на X, для которых
отображение φ непрерывно.
47. X, Y , φ из предыдущей задачи, T
X
= {X, ∅, {0}, {0, 1}, {0, 1, 2, }}. Опи-
24

Страницы