Задачи по линейной алгебре и геометрии. Панов А.Н. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

61. Построить согласованные системы карт на a) R
n
, b) S
n
, c) торе, d)
цилиндре, e) листе Мёбиуса.
62. Доказать, что конус x
2
+ y
2
= z
2
не является топологическим много-
образием.
63. Какие из поверхностей второго порядка являются гладкими (т.е. бес-
конечно дифференцируемыми) многообразиями? Построить системы со-
гласованных карт.
64. Доказать, что группы GL(n, R), SL(n, R) являются гладкими многооб-
разиями.
65. Доказать, что группы a) SO(n, R), b) U(n), c) SU(n) являются гладки-
ми многообразиями. Построить систему согласованных карт. Вычислить
размерность.
66. Построить систему согласованных карт на a) проективном простран-
стве RP
n
, b) многообразии k-мерных подпространств n-мерного простран-
ства (Грассманово многообразие).
67. Доказать, что система уравнений
x
2
− xz −yt = 0
yz − xt − zt = 0
определяет гладкое двумерное подмногообразие в R
4
− {(0, 0, 0, 0)}.
68. При каком a следующие уравнения определяют двумерные гладкие
подмногообразия в R
3
− {(0, 0, 0)}:
1) x
3
0
+ x
3
2
+ x
3
3
− a(x
0
+ x
1
+ x
2
)
3
= 0;
2) x
3
0
+ x
3
1
+ x
3
2
+ ax
0
x
1
x
2
= 0.
69. Найти эйлерову характеристику плоского многоугольника, сферы, то-
ра, цилиндра, сферы с g ручками.
70. Найти касательное пространство в заданной точке к сфере, однолост-
ному гиперболоиду.
71. Найти касательное пространство в точке E к группе a) GL(n, R), b)
SL(n, R), c) SO(n, R), d) движений плоскости.
72. Вычислить дифференциал следующих отображений:
1) φ(g) = g
2
, φ : Mat(n, R) → Mat(n, R) в a) произвольной точке g = g
0
,
b) в единице g = e;
2) φ(g) = g
−1
, φ : GL(n, R) → GL(n, R) в a) произвольной точке g = g
0
, b)
в единице g = e;
3) φ(g) = gAg
−1
, φ : GL(n, R) → Mat(n, R) в a) произвольной точке g = g
0
,
b) в единице g = e;
26

Страницы