Задачи по линейной алгебре и геометрии. Панов А.Н. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

сать все топологии на Y для которых φ непрерывно.
48. Доказать, что R
n
−{0} гомеоморфно S
n−1
×R (топология евклидова).
49. Пусть σ циклическая перестановка множества Λ
n
= {1, 2, . . . , n}. Опи-
сать все топологии на X, для которых σ непрерывно.
50. Пусть I
2
= {(x, y)| 0 ≤ x, y ≤ 1}. Построить факторпространства
I
2
/R по следующим отношениям эквивалентности a) R
1
: (x, 1) ∼ (x, −1),
b) R
2
: (1, y) ∼ (−1, −y), c) R
3
: (x, 1) ∼ (x, −1), (1, y) ∼ (−1, y), d)
R
4
: (x, 1) ∼ (x, −1), (1, y) ∼ (−1, −y), e) R
5
: (x, 1) ∼ (−x, −1), (1, y) ∼
(−1, −y).
51. Доказать, что RP
2
гомеоморфно пространству, полученному из круга
отождествлением противоположных точек на границе.
52. Какое пространство получится, если стянуть RP
1
на RP
2
в точку.
53. Какое пространство получится, если разрезать если RP
2
по RP
1
.
54. Описать факторпространства R по отношению к следующим отноше-
ниям эквивалентности a) x ∼ y ⇔ x
2
= y
2
, b) x ∼ y ⇔ sin x = sin y,
c) x ∼ y ⇔ x = ay для некоторого a 6= 0, в) x ∼ y ⇔ x = y + n для
некоторого целого n.
55. Описать факторпространства R
2
по отношению к следующим отно-
шениям эквивалентности a) (x
1
, y
1
) ∼ (x
2
, y
2
) ⇔ x
2
1
+ y
2
1
= x
2
2
+ y
2
2
, b)
(x
1
, y
1
) ∼ (x
2
, y
2
) ⇔ x
2
1
= x
2
2
, y
2
1
= y
2
2
.
56. Описать пространство орбит группы G матриц g =
a b
0 1
, a, b ∈ R,
a > 0 на плоскости по формуле ρ(g)
x
y
=
x + a
−1
by
a
−1
y
. Доказать,
что пространство орбит не отделимо.
57. Найти фундаментальную область и описать факторпространство для
a) действия ρ(n)x = x + n группы G = Z на R; b) действия ρ(n)(x, y) =
(x+n, y) группы G = Z на R
2
; c) действия ρ(n)A = S
n
(A) (где S некоторая
скользящая симметрия) группы G = Z на R
2
; d) действия ρ(n, m)(x, y) =
(x + n, y + m) группы G = Z
2
на R
2
.
58. Описать пространство орбит на R
2
под действием циклической группы
вращений.
59. Описать пространство орбит на R
2
под действием группы симметрий
правильного n-угольника.
60. Д оказать, что пространство прямых на плоскости гомеоморфно листу
Мёбиуса.
25

Страницы