Задачи по линейной алгебре и геометрии. Панов А.Н. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

4. Пусть X = Z и Λ семейство {V
m
} подмножеств
V
m
= {n ∈ Z| n делится на 2
m
}.
Доказать, что Λ – топология на R. Указать открытые окрестности точек
1, 10, 16. Найти замыкание, внутренность и границу для a) {1}, b) {1, 2}.
5. Пусть X = {1, 2, 3, 4}, T = {∅, X, {1, 2}, {2, 3, 4}, {2}}. Доказать, что T
топология на X. Найти замыкание, внутренность и границу для a){1, 3},
b) {1, 2, 3}.}
6. Пусть X = {1, 2, 3, 4}, Λ = {X, {1, 3}, {2, 3, 4}, }. Какие множества от-
крыты (замкнуты) в самой слабой топологии T , содержащей Λ. Найти за-
мыкание, внутренность и границу в топологии T для для a){1}, b) {1, 2, 3}.
7. Описать все топологии на двоеточии. Упорядочить их по усилению.
8. Описать все топологии на троеточии. Упорядочить их по усилению.
9. Привести пример множества A на прямой R
евкл.
, для которого следую-
щие семь множеств различны A,
A, Int(A), Int(A), Int(A), Int(A), Int(Int(A)).
10. П ривести пример открытых множеств A и B на R
евкл.
, для которых
A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B попарно различны.
11. Привести пример двух интервалов на прямой R
евкл.
, для которых
A ∩ B не содержится в A ∩ B.
12. Показать, что Γ(A) ⊂ Γ(A) и Γ(Int(A)) ⊂ Γ(A). Привести пример на
R
евкл.
, когда эти три множества различны.
13. Д оказать, что A ∩B ⊃ A ∩ B. Привести пример, когда A ∩B 6= A ∩ B.
14. Доказать, что IntA ∪ IntB ⊂ Int(A ∪ B). Привести пример, когда
IntA ∪ IntB 6= Int(A ∪ B).
15. Верно ли, что для всякого семейства подмножеств в топологическом
пространстве выполнено
a)
[
A
α
=
[
A
α
, b)
\
IntA
α
= Int
\
A
α
.
16. Доказать эквивалентность метрических топологий с метриками
a)
v
u
u
t
n
X
i=1
(x
i
− y
i
)
2
, b)
n
X
i=1
|x
i
− y
i
| c) max
1≤i≤n
|x
i
− y
i
|.
17. Описать все метризуемые топологии на конечном множестве.
18. Существует ли в R
евкл.
, R
дискр.
, R
трив.
, R
фреше
а) счетное всюду
плотное множество, b) счетная база.
22

Страницы