Методические указания и дидактические материалы по теории вероятностей. Петрова С.С - 10 стр.

                                18                                                                          19
      В условиях предыдущей задачи определить вероятность                  а)   АВС   - событие -"первое изделие из трех проверяемых не-
бесперебойной работы хотя бы одного из двух станков в течение
времени t (событие В).                                                     стандартное", АВС - "второе нестандартное", АВС - "третье
      Решение. I способ. Рассмотрим противоположное событие                нестандартное".
В, означающее простой обоих станков в течение времени t. Оче-              Каждое из этих событий означает, что из трех проверяемых толь-
                                                                           ко одно нестандартное и эти события несовместны.
видно, что событие     В   - есть совмещение событий    А1 и А2 -
                                                                           Р( АВС + АВС + АВС ) = 0,1 * 0,9 * 0,9 + 0,9 * 0,1 * 0,9 +
простоев 1 и 2 станков, т.е.    В = А1 А2 . Т.к. события А1 и А2           0,9 * 0,9 * 0,1 = 0,243
независимы,                                                                б) Аналогично с предыдущим имеем:
Р( В ) = Р( А1 ) * Р( А2 ) = ((1 - Р(А1)(1 - Р(А2)) = 0,1 * 0,2 = 0,02     Р( АВС + АВС +        АВС ) = 0,1 * 0,1 * 0,9 + 0,1 * 0,9 * 0,1 +0,9 *
                                                                           * 0,1 * 0,1 = 0,027
отсюда Р(В) = 1 - Р( В ) = 0,98.
                                                                           с) Р( АВС ) = 0,1 * 0,1 * 0,1 = 0,001
2 способ. Событие В происходит в том случае, когда имеет место
                                                                           д) Р(АВС) = 0,9 * 0,9 * 0,9 = 0,729
одно из следующих трех несовместных событий: либо А 1 ⋅ А2 -
                                                                           е) Пусть Д = АВС - событие," ни одно изделие не будет нестан-
совмещение событий А 1и А2 (первый станок работает, второй                 дартным", тогда
не работает), либо   А1 ⋅ А 2 - совмещение событий А1 и А 2        (пер-    Д = АВС - событие, являющееся противоположным Д ("хотя
вый станок не работает, второй работает), либо А 1 * А 2 - совме-          бы одно изделие окажется нестандартным"). Тогда
щение событие А 1 и А 2 (оба станка работают), т.е.                        Р( Д ) = 1 - Р(Д) = 1 - 0,9 * 0,9 * 0,9 = 0,271
В = А 1 * А2 +   А1 * А 2 + А 1 * А 2                                      Задача9
                                                                           Игральная кость брошена четыре раза. Найти вероятность того,
Р(В) = Р( А 1) * Р( А2 ) + Р( А1 ) * Р( А 2) + Р( А 1 * А 2)               что каждый раз выпадала цифра 1.
В силу того, что события А 1 и А2 , а следовательно            А1 и А 2,   Решение. Задачу можно решить, используя только классическое
                                                                           определение вероятности, однако, целесообразнее воспользовать-
 А 1 и А 2 независимы, имеем:                                              ся теоремой умножения вероятностей. Вероятность выпадения
Р(В) = 0,9 * 0,2 + 0,1 * 0,8 + 0,9 * 0,8 = 0,98
Задача8
                                                                                                                    1
                                                                           цифры 1 при каждом бросании равна          . Нас интересует вероят-
Отдел технического контроля проверяет изделия на стандарт-                                                          6
ность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0,1.              ность совмещения четырех таких выпадений, которые оказыва-
Найти вероятность того, что: а) из трех проверенных изделий                ются независимыми друг от друга. По теореме умножения для
только одно окажется нестандартным, б) из трех проверенных                 независимых событий находим:
деталей только два окажутся нестандартными, с) все три изделия                  1 1 1 1            1
окажутся нестандартными, д) ни одно изделие не будет нестан-               Р=    * * *       =
дартным, z) хотя бы одно изделие окажется нестандартным.                        6 6 6 6          1296
Решение. Пусть А - "первое проверяемое изделие нестандарт-                 Задача10 Какова вероятность того, что 2 карты, вынутые из ко-
ное", В - "второе изделие нестандартное", С - "третье изделие не-          лоды в 36 карт, окажутся одной масти?
стандартное", тогда: