Методические указания и дидактические материалы по теории вероятностей. Петрова С.С - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

18
В условиях предыдущей задачи определить вероятность
бесперебойной работы хотя бы одного из двух станков в течение
времени t (событие В).
Решение. I способ.
Рассмотрим противоположное событие
В, означающее простой обоих станков в течение времени t. Оче-
видно, что событие
В
- есть совмещение событий
А
1
и
А
2
-
простоев 1 и 2 станков, т.е.
ВАА=
12
. Т.к. события А
1
и А
2
независимы,
Р(
В
) = Р(
А
1
) * Р(
А
2
) = ((1 - Р(А
1
)(1 - Р(А
2
)) = 0,1 * 0,2 = 0,02
отсюда Р(В) = 1 - Р(
В
) = 0,98.
2 способ.
Событие В происходит в том случае, когда имеет место
одно из следующих трех несовместных событий: либо
А
1
2
А⋅
-
совмещение событий
А
1
и
А
2
(первый станок работает, второй
не работает), либо
А
1
⋅
А
2
- совмещение событий А
1
и
А
2
(пер-
вый станок не работает, второй работает), либо
А
1
*
А
2
- совме-
щение событие
А
1
и
А
2
(оба станка работают), т.е.
В =
А
1
* А
2
+ А
1
*
А
2
+
А
1
*
А
2
Р(В) = Р(
А
1
) * Р(
А
2
) + Р(
А
1
) * Р(
А
2
) + Р(
А
1
*
А
2
)
В силу того, что события
А
1
и
А
2
, а следовательно
А
1
и
А
2
,
А
1
и
А
2
независимы, имеем:
Р(В) = 0,9 * 0,2 + 0,1 * 0,8 + 0,9 * 0,8 = 0,98
Задача8
Отдел технического контроля проверяет изделия на стандарт-
ность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0,1.
Найти вероятность того, что: а) из трех проверенных изделий
только одно окажется нестандартным, б) из трех проверенных
деталей только два окажутся нестандартными, с) все три изделия
окажутся нестандартными, д) ни одно изделие не будет нестан-
дартным, z)
хотя бы одно изделие окажется нестандартным.
Решение
. Пусть А - "первое проверяемое изделие нестандарт-
ное", В - "второе изделие нестандартное", С - "третье изделие не-
стандартное", тогда:
19
а)
А
В
С
- событие -"первое изделие из трех проверяемых не-
стандартное",
А
В
С
- "второе нестандартное",
А
В
С
- "третье
нестандартное".
Каждое из этих событий означает, что из трех проверяемых толь-
ко одно нестандартное и эти события несовместны.
Р(
А
В
С
+
А
В
С
+
А
В
С
) = 0,1 * 0,9 * 0,9 + 0,9 * 0,1 * 0,9 +
0,9 * 0,9 * 0,1 = 0,243
б) Аналогично с предыдущим имеем:
Р(
В
С
А
В
С
А
ВС
+
+
) = 0,1 * 0,1 * 0,9 + 0,1 * 0,9 * 0,1 +0,9 *
* 0,1 * 0,1 = 0,027
с) Р(
А
В
С
) = 0,1 * 0,1 * 0,1 = 0,001
д) Р(АВС) = 0,9 * 0,9 * 0,9 = 0,729
е) Пусть Д =
А
В
С
- событие," ни одно изделие не будет нестан-
дартным", тогда
ДАВС= - событие, являющееся противоположным Д ("хотя
бы одно изделие окажется нестандартным"). Тогда
Р(
Д
) = 1 - Р(Д) = 1 - 0,9 * 0,9 * 0,9 = 0,271
Задача9
Игральная кость брошена четыре раза. Найти вероятность того,
что каждый раз выпадала цифра 1.
Решение
. Задачу можно решить, используя только классическое
определение вероятности, однако, целесообразнее воспользовать-
ся теоремой умножения вероятностей. Вероятность выпадения
цифры 1 при каждом бросании равна
1
6
. Нас интересует вероят-
ность совмещения четырех таких выпадений, которые оказыва-
ются независимыми друг от друга. По теореме умножения для
независимых событий находим:
Р =
1
6
*
1
6
*
1
6
*
1
6
=
1
1296
Задача10
Какова вероятность того, что 2 карты, вынутые из ко-
лоды в 36 карт, окажутся одной масти? 
                                18                                                                          19
      В условиях предыдущей задачи определить вероятность                  а)   АВС   - событие -"первое изделие из трех проверяемых не-
бесперебойной работы хотя бы одного из двух станков в течение
времени t (событие В).                                                     стандартное", АВС - "второе нестандартное", АВС - "третье
      Решение. I способ. Рассмотрим противоположное событие                нестандартное".
В, означающее простой обоих станков в течение времени t. Оче-              Каждое из этих событий означает, что из трех проверяемых толь-
                                                                           ко одно нестандартное и эти события несовместны.
видно, что событие     В   - есть совмещение событий    А1 и А2 -
                                                                           Р( АВС + АВС + АВС ) = 0,1 * 0,9 * 0,9 + 0,9 * 0,1 * 0,9 +
простоев 1 и 2 станков, т.е.    В = А1 А2 . Т.к. события А1 и А2           0,9 * 0,9 * 0,1 = 0,243
независимы,                                                                б) Аналогично с предыдущим имеем:
Р( В ) = Р( А1 ) * Р( А2 ) = ((1 - Р(А1)(1 - Р(А2)) = 0,1 * 0,2 = 0,02     Р( АВС + АВС +        АВС ) = 0,1 * 0,1 * 0,9 + 0,1 * 0,9 * 0,1 +0,9 *
                                                                           * 0,1 * 0,1 = 0,027
отсюда Р(В) = 1 - Р( В ) = 0,98.
                                                                           с) Р( АВС ) = 0,1 * 0,1 * 0,1 = 0,001
2 способ. Событие В происходит в том случае, когда имеет место
                                                                           д) Р(АВС) = 0,9 * 0,9 * 0,9 = 0,729
одно из следующих трех несовместных событий: либо А 1 ⋅ А2 -
                                                                           е) Пусть Д = АВС - событие," ни одно изделие не будет нестан-
совмещение событий А 1и А2 (первый станок работает, второй                 дартным", тогда
не работает), либо   А1 ⋅ А 2 - совмещение событий А1 и А 2        (пер-    Д = АВС - событие, являющееся противоположным Д ("хотя
вый станок не работает, второй работает), либо А 1 * А 2 - совме-          бы одно изделие окажется нестандартным"). Тогда
щение событие А 1 и А 2 (оба станка работают), т.е.                        Р( Д ) = 1 - Р(Д) = 1 - 0,9 * 0,9 * 0,9 = 0,271
В = А 1 * А2 +   А1 * А 2 + А 1 * А 2                                      Задача9
                                                                           Игральная кость брошена четыре раза. Найти вероятность того,
Р(В) = Р( А 1) * Р( А2 ) + Р( А1 ) * Р( А 2) + Р( А 1 * А 2)               что каждый раз выпадала цифра 1.
В силу того, что события А 1 и А2 , а следовательно            А1 и А 2,   Решение. Задачу можно решить, используя только классическое
                                                                           определение вероятности, однако, целесообразнее воспользовать-
 А 1 и А 2 независимы, имеем:                                              ся теоремой умножения вероятностей. Вероятность выпадения
Р(В) = 0,9 * 0,2 + 0,1 * 0,8 + 0,9 * 0,8 = 0,98
Задача8
                                                                                                                    1
                                                                           цифры 1 при каждом бросании равна          . Нас интересует вероят-
Отдел технического контроля проверяет изделия на стандарт-                                                          6
ность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0,1.              ность совмещения четырех таких выпадений, которые оказыва-
Найти вероятность того, что: а) из трех проверенных изделий                ются независимыми друг от друга. По теореме умножения для
только одно окажется нестандартным, б) из трех проверенных                 независимых событий находим:
деталей только два окажутся нестандартными, с) все три изделия                  1 1 1 1            1
окажутся нестандартными, д) ни одно изделие не будет нестан-               Р=    * * *       =
дартным, z) хотя бы одно изделие окажется нестандартным.                        6 6 6 6          1296
Решение. Пусть А - "первое проверяемое изделие нестандарт-                 Задача10 Какова вероятность того, что 2 карты, вынутые из ко-
ное", В - "второе изделие нестандартное", С - "третье изделие не-          лоды в 36 карт, окажутся одной масти?
стандартное", тогда:

Страницы