Методические указания и дидактические материалы по теории вероятностей. Петрова С.С - 10 стр.

UptoLike

Рубрика: 

18
В условиях предыдущей задачи определить вероятность
бесперебойной работы хотя бы одного из двух станков в течение
времени t (событие В).
Решение. I способ.
Рассмотрим противоположное событие
В, означающее простой обоих станков в течение времени t. Оче-
видно, что событие
В
- есть совмещение событий
А
1
и
А
2
-
простоев 1 и 2 станков, т.е.
ВАА=
12
. Т.к. события А
1
и А
2
независимы,
Р(
В
) = Р(
А
1
) * Р(
А
2
) = ((1 - Р(А
1
)(1 - Р(А
2
)) = 0,1 * 0,2 = 0,02
отсюда Р(В) = 1 - Р(
В
) = 0,98.
2 способ.
Событие В происходит в том случае, когда имеет место
одно из следующих трех несовместных событий: либо
А
1
2
А
-
совмещение событий
А
1
и
А
2
(первый станок работает, второй
не работает), либо
А
1
А
2
- совмещение событий А
1
и
А
2
(пер-
вый станок не работает, второй работает), либо
А
1
*
А
2
- совме-
щение событие
А
1
и
А
2
(оба станка работают), т.е.
В =
А
1
* А
2
+ А
1
*
А
2
+
А
1
*
А
2
Р(В) = Р(
А
1
) * Р(
А
2
) + Р(
А
1
) * Р(
А
2
) + Р(
А
1
*
А
2
)
В силу того, что события
А
1
и
А
2
, а следовательно
А
1
и
А
2
,
А
1
и
А
2
независимы, имеем:
Р(В) = 0,9 * 0,2 + 0,1 * 0,8 + 0,9 * 0,8 = 0,98
Задача8
Отдел технического контроля проверяет изделия на стандарт-
ность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0,1.
Найти вероятность того, что: а) из трех проверенных изделий
только одно окажется нестандартным, б) из трех проверенных
деталей только два окажутся нестандартными, с) все три изделия
окажутся нестандартными, д) ни одно изделие не будет нестан-
дартным, z)
хотя бы одно изделие окажется нестандартным.
Решение
. Пусть А - "первое проверяемое изделие нестандарт-
ное", В - "второе изделие нестандартное", С - "третье изделие не-
стандартное", тогда:
19
а)
А
В
С
- событие -"первое изделие из трех проверяемых не-
стандартное",
А
В
С
- "второе нестандартное",
А
В
С
- "третье
нестандартное".
Каждое из этих событий означает, что из трех проверяемых толь-
ко одно нестандартное и эти события несовместны.
Р(
А
В
С
+
А
В
С
+
А
В
С
) = 0,1 * 0,9 * 0,9 + 0,9 * 0,1 * 0,9 +
0,9 * 0,9 * 0,1 = 0,243
б) Аналогично с предыдущим имеем:
Р(
В
С
А
В
С
А
ВС
+
+
) = 0,1 * 0,1 * 0,9 + 0,1 * 0,9 * 0,1 +0,9 *
* 0,1 * 0,1 = 0,027
с) Р(
А
В
С
) = 0,1 * 0,1 * 0,1 = 0,001
д) Р(АВС) = 0,9 * 0,9 * 0,9 = 0,729
е) Пусть Д =
А
В
С
- событие," ни одно изделие не будет нестан-
дартным", тогда
ДАВС= - событие, являющееся противоположным Д ("хотя
бы одно изделие окажется нестандартным"). Тогда
Р(
Д
) = 1 - Р(Д) = 1 - 0,9 * 0,9 * 0,9 = 0,271
Задача9
Игральная кость брошена четыре раза. Найти вероятность того,
что каждый раз выпадала цифра 1.
Решение
. Задачу можно решить, используя только классическое
определение вероятности, однако, целесообразнее воспользовать-
ся теоремой умножения вероятностей. Вероятность выпадения
цифры 1 при каждом бросании равна
1
6
. Нас интересует вероят-
ность совмещения четырех таких выпадений, которые оказыва-
ются независимыми друг от друга. По теореме умножения для
независимых событий находим:
Р =
1
6
*
1
6
*
1
6
*
1
6
=
1
1296
Задача10
Какова вероятность того, что 2 карты, вынутые из ко-
лоды в 36 карт, окажутся одной масти?