ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
16
Примеры.
1. Опыт состоит в бросании двух монет, рассматриваются собы-
тия: А - "появление герба на первой монете",
В - "появление герба на второй монете".
В данном случае вероятность события А не зависит от того, про-
изошло событие В или нет, событие А независимо от события В.
2. В урне два белых и
один черный шар, два лица вынимают по
одному шару, рассматриваются события:
А -" появление белого шара у первого лица",
В - "появление белого шара у второго лица".
Вероятность события А до того, как известно что-либо о
событии В, равна
2
3
. Если стало известно, что событие В про-
изошло, то вероятность события А становится равной
1
2
, из чего
заключаем, что событие А зависит от события В.
Вероятность события А, вычисленная при условии, что
имело место другое событие В, называется условной вероятно-
стью события А. Обозначается Р(А/В) или Р
В
(А). При условии
последнего примера Р(А) =
2
3
, Р(А/В) =
1
2
.
Теорема умножения вероятностей
.
Вероятность произведения двух событий равна вероятности
одного из них, умноженной на условную вероятность другого
при наличии первого:
Р(А * В) = Р(А) * Р(В/А) или
Р(А * В) = Р(В) * Р(А/В).
Для независимых событий формула теоремы будет выгля-
деть так: Р(А * В) = Р(А) * Р(
В).
Задача4.
Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 вопросов из 25.
Какова вероятность того, что студент знает каждый из двух во-
просов, заданных ему преподавателем?
Решение. А - событие, состоящее в том, что первый задан-
ный вопрос студент знает.
17
В - событие, состоящее в том, что второй заданный вопрос
студент знает. Событие В зависит от А, т.к. знание второго во-
проса зависит от того, какой попался первый вопрос. Отсюда ве-
роятность знания двух вопросов Р(А * В
) = Р(А) * Р(В/А), где
Р(А) =
20
25
, Р(В/А) =
19
24
, Р(А * В) =
19
30
.
Задача5
В трамвайном парке имеются 15 трамваев маршрута №1 и
10 трамваев маршрута №2. Какова вероятность того, что вторым
по счету на линию выйдет трамвай маршрута №1?
Решение
. Пусть А - событие, состоящее в том, что на ли-
нию вышел трамвай маршрута №1, В - маршрута №2. Рассмот-
рим все события, которые могут при этом быть (в условиях на-
шей задачи): АА
, АВ, ВА, ВВ. Из них нас будут интересовать
только первое и третье и т.к. все эти события несовместны, то:
Р(АА) = Р(А) * Р
А
(А) =
15
25
14
24
*
; Р(ВА) = Р(В) * Р
В
(А) =
=
10
25
15
24
*
; отсюда Р(АА) + Р(ВА) =
15
25
14
24
*
+
10
25
15
24
*
= 0,6
Задача6
Два станка работают независимо друг от друга. Вероят-
ность бесперебойной работы первого станка в течение некоторо-
го времени t равна р
1
= 0,9, второго р
2
= 0,8. Какова вероятность
бесперебойной работы обоих станков в течение указанного про-
межутка времени?
Решение
. Рассмотрим следующие события: А
1
и А
2
- бес-
перебойная работа соответственно первого и второго станков в
течение времени t; А - бесперебойная работа обоих станков в те-
чение указанного времени. Тогда событие А есть совмещение
событий А
1
и А
2
, т.е. А = А
1
* А
2
. Так как события А
1
и А
2
неза-
висимы (станки работают независимо друг от друга), получаем
Р(А) = Р(А
1
) * Р(А
2
) = 0,9 * 0,8 = 0,72
Задача7
16 17
Примеры. В - событие, состоящее в том, что второй заданный вопрос
1. Опыт состоит в бросании двух монет, рассматриваются собы- студент знает. Событие В зависит от А, т.к. знание второго во-
тия: А - "появление герба на первой монете", проса зависит от того, какой попался первый вопрос. Отсюда ве-
В - "появление герба на второй монете". роятность знания двух вопросов Р(А * В) = Р(А) * Р(В/А), где
В данном случае вероятность события А не зависит от того, про- 20 19 19
изошло событие В или нет, событие А независимо от события В. Р(А) = , Р(В/А) = , Р(А * В) = .
2. В урне два белых и один черный шар, два лица вынимают по 25 24 30
одному шару, рассматриваются события: Задача5
А -" появление белого шара у первого лица", В трамвайном парке имеются 15 трамваев маршрута №1 и
В - "появление белого шара у второго лица". 10 трамваев маршрута №2. Какова вероятность того, что вторым
Вероятность события А до того, как известно что-либо о по счету на линию выйдет трамвай маршрута №1?
2 Решение. Пусть А - событие, состоящее в том, что на ли-
событии В, равна . Если стало известно, что событие В про- нию вышел трамвай маршрута №1, В - маршрута №2. Рассмот-
3 рим все события, которые могут при этом быть (в условиях на-
1 шей задачи): АА, АВ, ВА, ВВ. Из них нас будут интересовать
изошло, то вероятность события А становится равной , из чего только первое и третье и т.к. все эти события несовместны, то:
2 15 14
заключаем, что событие А зависит от события В. Р(АА) = Р(А) * РА(А) = * ; Р(ВА) = Р(В) * РВ(А) =
Вероятность события А, вычисленная при условии, что 25 24
имело место другое событие В, называется условной вероятно- 10 15 15 14 10 15
стью события А. Обозначается Р(А/В) или РВ(А). При условии = * ; отсюда Р(АА) + Р(ВА) = * + * = 0,6
2 1 25 24 25 24 25 24
последнего примера Р(А) = , Р(А/В) = . Задача6
3 2 Два станка работают независимо друг от друга. Вероят-
Теорема умножения вероятностей. ность бесперебойной работы первого станка в течение некоторо-
Вероятность произведения двух событий равна вероятности го времени t равна р1 = 0,9, второго р2 = 0,8. Какова вероятность
одного из них, умноженной на условную вероятность другого бесперебойной работы обоих станков в течение указанного про-
при наличии первого: межутка времени?
Р(А * В) = Р(А) * Р(В/А) или Решение. Рассмотрим следующие события: А1 и А2 - бес-
Р(А * В) = Р(В) * Р(А/В). перебойная работа соответственно первого и второго станков в
Для независимых событий формула теоремы будет выгля- течение времени t; А - бесперебойная работа обоих станков в те-
деть так: Р(А * В) = Р(А) * Р(В). чение указанного времени. Тогда событие А есть совмещение
Задача4. событий А1 и А2, т.е. А = А1 * А2. Так как события А1 и А2 неза-
Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 вопросов из 25. висимы (станки работают независимо друг от друга), получаем
Какова вероятность того, что студент знает каждый из двух во- Р(А) = Р(А1) * Р(А2) = 0,9 * 0,8 = 0,72
просов, заданных ему преподавателем? Задача7
Решение. А - событие, состоящее в том, что первый задан-
ный вопрос студент знает.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
