ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
14
1
4
С
⋅
2
32
С .Искомая вероятность Р(А)= 2778.0
3
36
2
32
1
4
≈
⋅
С
СС
б) В= В
1
+В
2
+В
3
, где В
1
-появление одного туза, В
2
-появление
двух тузов, В
3
-появление трех тузов. Р(В)= Р(В
1
) +Р(В
2
)+ Р(В
3
)=
3
36
2
32
1
4
С
СС
⋅
+
3
36
1
32
2
4
С
СС
⋅
+ 3053.0
3
36
0
32
3
4
≈
⋅
С
СС
7.Теоремы сложения и умножения вероятностей
Теорема сложения вероятностей
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме
вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
В случае. Когда А и В совместны, вероятность суммы выража-
ется формулой: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А⋅В),
где А⋅В- произведение событий А и В
.
Следствие 1.
Если события А
1
, А
2
, ..., А
n
образуют полную группу несо-
вместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:
РА
i
i
n
()=
=
∑
1
1
.
Так как противоположные события являются несовмест-
ными и образуют полную группу, то Р(А) + Р(
А
) = 1.
Следствие 2.
Сумма вероятностей противоположных событий равна
единице: Р(А) + Р(
А
) = 1.
Пример 1. Из колоды карт(36карт) наудачу вынимают три карты.
Найти вероятность того, что среди них окажется: хотя бы один
туз( событие В).
2способ решения предыдущей задачи:
Событие
В
, противоположное событию В, состоит в том, что
среди вынутых карт не окажется ни одного туза. Очевидно, что
три карты, не являющимися тузами, можно вынуть из коло-
ды
3
32
С способами, поэтому
Р(
В )= .6947,0
3
36
3
32
≈
С
С
А тогда Р(В)=1- Р( В )=1-0,6947=0,3053.
15
Задача2. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000
билетов разыгрываются 200 вещевых и 100 денежных выигрыш-
ных. Чему равна вероятность выигрыша безразлично денежного
или вещевого для владельца одного билета?
Решение. Пусть А- событие " владелец билета имеет вещевой
выигрыш", В- событие " владелец билета имеет денежный выиг-
рыш". Для одного билета эти события несовместны,
поэтому
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=
003,0
10000
100
10000
200
=+
Задача 3.В партии из 50 изделий содержится 5 бракованных. Ка-
кова вероятность того, что из выбранных наудачу 3 изделий не
более одного бракованного?
Решение. Пусть А- событие, состоящее в том, что 3 изделия вы-
борки качественные, событие В- "в рассматриваемой выборке из
3 изделий только одно бракованное", С- "не более одного брако-
ванного". Тогда,
очевидно, С=А+В. Найдем вероятность событий
А и В.
724,0
321
484950
321
434445
)(
3
50
3
45
=
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅
⋅
==
С
С
АР
Р(В)=
321
484950
5
21
4445
3
50
1
5
2
45
⋅⋅
⋅⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
С
СС
=0,253.
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,724+0,253=0,977
Перед тем как изложить теорему умножения вероятностей,
напомним понятия о зависимых и независимых величинах.
СОБЫТИЯ А и В НАЗЫВАЮТСЯ НЕЗАВИСИМЫМИ,
если появление одного из них не меняет вероятности появления
другого.
Событие А называется зависимым
от события В, если веро-
ятность события А меняется в зависимости от того, произошло
событие В или нет.
14 15
С ⋅С
1 2 Задача2. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000
С 41 ⋅ С 322 .Искомая вероятность Р(А)= 4 32
≈ 0.2778 билетов разыгрываются 200 вещевых и 100 денежных выигрыш-
С 363 ных. Чему равна вероятность выигрыша безразлично денежного
б) В= В1 +В2+В3, где В1-появление одного туза, В2-появление или вещевого для владельца одного билета?
двух тузов, В3-появление трех тузов. Р(В)= Р(В1) +Р(В2)+ Р(В3)= Решение. Пусть А- событие " владелец билета имеет вещевой
С 41 ⋅ С 322 С 42 ⋅ С 32
1
С 43 ⋅ С 320 выигрыш", В- событие " владелец билета имеет денежный выиг-
+ + ≈ 0.3053 рыш". Для одного билета эти события несовместны, поэтому
С 363 С 363 С 363
200 100
7.Теоремы сложения и умножения вероятностей Р(А+В)=Р(А)+Р(В)= + = 0,003
Теорема сложения вероятностей 10000 10000
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме Задача 3.В партии из 50 изделий содержится 5 бракованных. Ка-
вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В). кова вероятность того, что из выбранных наудачу 3 изделий не
В случае. Когда А и В совместны, вероятность суммы выража- более одного бракованного?
ется формулой: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А⋅В), Решение. Пусть А- событие, состоящее в том, что 3 изделия вы-
где А⋅В- произведение событий А и В. борки качественные, событие В- "в рассматриваемой выборке из
Следствие 1. 3 изделий только одно бракованное", С- "не более одного брако-
Если события А1, А2, ..., Аn образуют полную группу несо- ванного". Тогда, очевидно, С=А+В. Найдем вероятность событий
вместных событий, то сумма их вероятностей равна единице: А и В.
n 45 ⋅ 44 ⋅ 43
∑ Р ( Аi ) = 1 .
3
С 45
Р ( А) = 3 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 0,724
i =1 С 50 50 ⋅ 49 ⋅ 48
Так как противоположные события являются несовмест- 1⋅ 2 ⋅ 3
ными и образуют полную группу, то Р(А) + Р( А ) = 1.
Следствие 2.
Сумма вероятностей противоположных событий равна 45 ⋅ 44
⋅5
С ⋅С
2 1
1 ⋅ 2
единице: Р(А) + Р( А ) = 1. Р(В)= 45
=
5
=0,253.
Пример 1. Из колоды карт(36карт) наудачу вынимают три карты. С 503 50 ⋅ 49 ⋅ 48
Найти вероятность того, что среди них окажется: хотя бы один 1⋅ 2 ⋅ 3
туз( событие В). Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,724+0,253=0,977
2способ решения предыдущей задачи: Перед тем как изложить теорему умножения вероятностей,
Событие В , противоположное событию В, состоит в том, что напомним понятия о зависимых и независимых величинах.
среди вынутых карт не окажется ни одного туза. Очевидно, что СОБЫТИЯ А и В НАЗЫВАЮТСЯ НЕЗАВИСИМЫМИ,
три карты, не являющимися тузами, можно вынуть из коло- если появление одного из них не меняет вероятности появления
3 другого.
ды С 32 способами, поэтому Событие А называется зависимым от события В, если веро-
С 323 ятность события А меняется в зависимости от того, произошло
Р( В )= ≈ 0,6947. А тогда Р(В)=1- Р( В )=1-0,6947=0,3053. событие В или нет.
С 363
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
