Методические указания и дидактические материалы по теории вероятностей. Петрова С.С - 11 стр.

UptoLike

Рубрика: 

20
Решение
. Сначала подсчитаем вероятность того, что две карты
окажутся одной определенной масти (например "пики"). Пусть А
- "появление первой карты такой масти", В - "появление второй
карты той же масти". Событие В зависит от события А, т.к. его
вероятность меняется от того, произошло или нет событие А. По-
этому придется воспользоваться теоремой
умножения в ее общей
форме:
Р(А * В) = Р(А) * Р(В/А),
Р(А) =
1
4
, Р(В/А) =
8
35
(после вынимания первой карты осталось 35 карт, из них той же
масти, что и первая - 8).
Получим Р(А * В) =
1
4
*
8
35
=
2
35
События, состоящие в том, что будут вынуты две карты масти
"пики", масти "треф", и т.д., несовместны друг с другом, и, сле-
довательно, для нахождения вероятности их объединения вос-
пользуемся теоремой сложения
Р =
2
35
+
2
35
+
2
35
+
2
35
=
8
35
8.Формула полной вероятности
Следствием обеих основных теорем является так называемая
формула полной вероятности.
Если событие В может произойти совместно с одним из собы-
тий А
1
,А
2
,А
3
,…,А
п
, образующих полную группу несовместных
событий, то Р(В)=Р(А
1
)Р(А/ А
1
)+ Р(А
2
)Р(А/ А
2
)+…+Р(А
п
)Р(А/
Ап)=
)/()(
1
i
n
i
I
АВРАР
=
Задача1
Из урны содержащей 1 белый и 3 черных шара, переложен один
шар в урну с тремя белыми и одним черным шаром, после чего из
второй урны был вынут один шар. Какова вероятность того. Что
вынутый шар оказался белым?
21
Решение.
Рассмотрим следующие события:
А- "из первой урны переложен во вторую белый шар, В- "из вто-
рой урны был вынут белый шар. Все условия формулы полной
вероятности выполняются, поэтому
Р(В)= Р(А
1
)Р(В/ А
1
)+ Р(А
2
)Р(В/ А
2
). Подсчитаем входящие в эту
формулу вероятности: Р(А
1
)=
4
1
, Р(А
2
)=
4
3
, Р(В/ А
1
)=
5
4
,
(после перекладывания во вторую урну там стало 4 белых и 1
черный шар, Р(В/ А
2
)=
5
3
,Р(В)=
20
13
5
3
4
3
5
4
4
1
=+
.
Задача 2
На трех автоматических станках изготовляются одинаковые де-
тали. Известно, что 30 % продукции производится первым стан-
ком, 25% - вторым.45%- третьим. Вероятность изготовления де-
тали, отвечающей стандарту, на первом станке равна 0.99, на то-
ром -0.988 и на третьем-0.98 .Изготовленные в течение дня на
трех станках не рассортированные детали находятся на складе.
Определить вероятность того
, что наудачу взятая деталь не соот-
ветствует стандарту.
Решение. Пусть событие В -" наудачу выбранная деталь". Гипо-
тезы:А
1
-" выбранная деталь изготовлена на первом станке",
А
2
- "выбранная деталь изготовлена на втором станке". А
3
- "вы-
бранная деталь изготовлена на третьем станке".
Р(А
1
)=
3,0
100
30
=
; Р(А
2
)=
25,0
100
25
=
; Р(А
3
)=
45,0
100
45
=
;
Р(В/А
1
)=1-0.99=0.01; Р(В/А
2
)=1-0.988=0.012; Р(В/А
3
)=1-0.98=0.02;
По формуле полной вероятности находим вероятность
того, что наудачу взятая деталь не соответствует стандарту:
Р(В)= Р(А
1
)Р(В/ А
1
)+ Р(А
2
)Р(В /
А
2
)=0.30.01+0.250.012+0.450.02=0.015.
Задача3
Из двух колод по 36 карт и одной в 52 карты наудачу выбрана
колода. А из колоды наудачу взята карта. Какова вероятность
того, что это оказался туз: