ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
24
Р(А
1
/В)=
29
14
05,03,002,07,0
02,07,0
)/()()/()(
)/()(
2211
11
=
⋅+⋅
⋅
=
⋅+⋅
⋅
АВРАРАВРАР
АВРАР
.
Формула Байеса позволяет "переоценить вероятность каждой из
гипотез после поступления новой "информации" относительно
осуществления тех или иных наблюдаемых событий. В нашем
примере апостериорная ( послеопытная ) вероятность того, что
бракованная деталь изготовлена первым автоматом меньше апри-
орной (доопытной) вероятности гипотезы А
1
(деталь изготовлена
первым автоматом), что явилось следствием поступившей ин-
формации (деталь бракованная).
Задача3.
Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит
два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном вы-
стреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5; для
третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что
выстрелы произведены
первым стрелком.
Решение. Возможны три гипотезы: А
1
-" на линию огня вызван
первый стрелок", А
2
-" на линию огня вызван второй стрелок", А
3
- "на линию огня вызван третий стрелок". Так как вызов на ли-
нию огня любого стрелка равновозможен, то Р(А
1
)= Р(А
2
)=
Р(А
3
)=1/3. В результате опыта наблюдалось событие В -" после
произведенных выстрелов мишень не поражена". Условные веро-
ятности этого события при сделанных гипотезах равны:
.04,02,02,0)/(
;25,05,05,0)/(;49,07,07,0)/(
3
21
=⋅=
=
⋅
=
=
⋅
=
АВР
АВРАВР
по формуле Байеса находим вероятность гипотезы А
1
после опы-
та:
Р(А
1
/В) 628,0
78,0
49,0
04,03/125,03/149,03/1
3/149,0
==
⋅+⋅+⋅
⋅
= .
9.Повторение опытов
(формула Бернулли).
25
Если при одних и тех же условиях определенный опыт по-
вторяется n раз и если вероятность появления некоторого собы-
тия А в каждом опыте равна p, то вероятность того, что событие
А в серии из n испытаний произойдет ровно k раз, находится по
формуле Бернулли
knkk
nn
qpCkP
−
⋅⋅=)( , где
pq
−
=
1
.
Данной формулой пользуются при небольших значениях числа
независимых испытаний n.
Задача1.
Вероятность брака в данной партии деталей
1,0
=
p . Какова ве-
роятность того, что в партии из трех деталей будет
3,2,1,0
=
k
бракованных деталей?
Решение.
.001,01,01)3(
027,09,01,0
21
23
)2(
243,09,01,0
1
3
)1(
729,09,01)0(
3033
33
222
33
221
33
3300
33
=⋅==
=⋅⋅
⋅
⋅
==
=⋅⋅==
=⋅==
qpCP
qpCP
qpCP
qpCP
Задача2.
Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4%
нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на ис-
пытание 30 деталей две будут нестандартными.
Решение. Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 дета-
лей на качество. Событие А - " появление нестандартной детали",
его вероятность
04,0
=
p , тогда 96,0
=
q . Отсюда по формуле
Бернулли находим
202,096,004,0)2(
2822
3030
≈⋅= CP .
Задача3.
Что вероятнее: выиграть у равносильного противника (ничейный
вариант исключен) три партии из четырех или пять из восьми?
24 25
Р(А1) ⋅ Р(В/ А1) 0,7 ⋅ 0,02 14 Если при одних и тех же условиях определенный опыт по-
Р(А1/В)= = = . вторяется n раз и если вероятность появления некоторого собы-
Р(А1) ⋅ Р(В/ А1) + Р(А2 ) ⋅ Р(В/ А2 ) 0,7 ⋅ 0,02+ 0,3⋅ 0,05 29
тия А в каждом опыте равна p, то вероятность того, что событие
А в серии из n испытаний произойдет ровно k раз, находится по
Формула Байеса позволяет "переоценить вероятность каждой из формуле Бернулли
гипотез после поступления новой "информации" относительно
осуществления тех или иных наблюдаемых событий. В нашем
Pn (k ) = Cnk ⋅ p k ⋅ q n − k , где q = 1 − p .
примере апостериорная ( послеопытная ) вероятность того, что Данной формулой пользуются при небольших значениях числа
бракованная деталь изготовлена первым автоматом меньше апри- независимых испытаний n.
орной (доопытной) вероятности гипотезы А1 (деталь изготовлена Задача1.
первым автоматом), что явилось следствием поступившей ин- Вероятность брака в данной партии деталей p = 0,1 . Какова ве-
формации (деталь бракованная). роятность того, что в партии из трех деталей будет k = 0,1, 2, 3
бракованных деталей?
Задача3. Решение.
Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит
два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном вы- P3 (0) = C30 p 0 q 3 = 1 ⋅ 0,93 = 0,729
стреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5; для 3
третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что P3 (1) = C31 p q 2 = ⋅ 0,1 ⋅ 0,9 2 = 0,243
1
выстрелы произведены первым стрелком.
Решение. Возможны три гипотезы: А1 -" на линию огня вызван 3⋅ 2
P3 (2) = C32 p 2 q = ⋅ 0,12 ⋅ 0,9 = 0,027
первый стрелок", А2 -" на линию огня вызван второй стрелок", А3 1⋅ 2
- "на линию огня вызван третий стрелок". Так как вызов на ли- P3 (3) = C33 p 3q 0 = 1 ⋅ 0,13 = 0,001.
нию огня любого стрелка равновозможен, то Р(А1)= Р(А2)=
Р(А3)=1/3. В результате опыта наблюдалось событие В -" после
произведенных выстрелов мишень не поражена". Условные веро- Задача2.
Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4%
ятности этого события при сделанных гипотезах равны:
нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на ис-
Р ( В / А1 ) = 0,7 ⋅ 0,7 = 0,49; Р( В / А2 ) = 0,5 ⋅ 0,5 = 0,25; пытание 30 деталей две будут нестандартными.
Р ( В / А3 ) = 0,2 ⋅ 0,2 = 0,04. Решение. Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 дета-
по формуле Байеса находим вероятность гипотезы А1 после опы- лей на качество. Событие А - " появление нестандартной детали",
та: его вероятность p = 0,04 , тогда q = 0,96 . Отсюда по формуле
0,49⋅ 1/ 3 0,49 Бернулли находим P30 (2) = C30
2
0,042 ⋅ 0,9628 ≈ 0,202 .
Р(А1/В) = = = 0,628 .
1/ 3 ⋅ 0,49+ 1/ 3 ⋅ 0,25+ 1/ 3 ⋅ 0,04 0,78
Задача3.
Что вероятнее: выиграть у равносильного противника (ничейный
9.Повторение опытов (формула Бернулли). вариант исключен) три партии из четырех или пять из восьми?
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
