Методические указания и дидактические материалы по теории вероятностей. Петрова С.С - 13 стр.

UptoLike

Рубрика: 

24
Р(А
1
/В)=
29
14
05,03,002,07,0
02,07,0
)/()()/()(
)/()(
2211
11
=
+
=
+
АВРАРАВРАР
АВРАР
.
Формула Байеса позволяет "переоценить вероятность каждой из
гипотез после поступления новой "информации" относительно
осуществления тех или иных наблюдаемых событий. В нашем
примере апостериорная ( послеопытная ) вероятность того, что
бракованная деталь изготовлена первым автоматом меньше апри-
орной (доопытной) вероятности гипотезы А
1
(деталь изготовлена
первым автоматом), что явилось следствием поступившей ин-
формации (деталь бракованная).
Задача3.
Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит
два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном вы-
стреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5; для
третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что
выстрелы произведены
первым стрелком.
Решение. Возможны три гипотезы: А
1
-" на линию огня вызван
первый стрелок", А
2
-" на линию огня вызван второй стрелок", А
3
- "на линию огня вызван третий стрелок". Так как вызов на ли-
нию огня любого стрелка равновозможен, то Р(А
1
)= Р(А
2
)=
Р(А
3
)=1/3. В результате опыта наблюдалось событие В -" после
произведенных выстрелов мишень не поражена". Условные веро-
ятности этого события при сделанных гипотезах равны:
.04,02,02,0)/(
;25,05,05,0)/(;49,07,07,0)/(
3
21
==
=
=
=
=
АВР
АВРАВР
по формуле Байеса находим вероятность гипотезы А
1
после опы-
та:
Р(А
1
/В) 628,0
78,0
49,0
04,03/125,03/149,03/1
3/149,0
==
++
= .
9.Повторение опытов
(формула Бернулли).
25
Если при одних и тех же условиях определенный опыт по-
вторяется n раз и если вероятность появления некоторого собы-
тия А в каждом опыте равна p, то вероятность того, что событие
А в серии из n испытаний произойдет ровно k раз, находится по
формуле Бернулли
knkk
nn
qpCkP
=)( , где
pq
=
1
.
Данной формулой пользуются при небольших значениях числа
независимых испытаний n.
Задача1.
Вероятность брака в данной партии деталей
1,0
=
p . Какова ве-
роятность того, что в партии из трех деталей будет
3,2,1,0
=
k
бракованных деталей?
Решение.
.001,01,01)3(
027,09,01,0
21
23
)2(
243,09,01,0
1
3
)1(
729,09,01)0(
3033
33
222
33
221
33
3300
33
===
=
==
===
===
qpCP
qpCP
qpCP
qpCP
Задача2.
Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4%
нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на ис-
пытание 30 деталей две будут нестандартными.
Решение. Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 дета-
лей на качество. Событие А - " появление нестандартной детали",
его вероятность
04,0
=
p , тогда 96,0
=
q . Отсюда по формуле
Бернулли находим
202,096,004,0)2(
2822
3030
= CP .
Задача3.
Что вероятнее: выиграть у равносильного противника (ничейный
вариант исключен) три партии из четырех или пять из восьми?