ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
22
Решение.ПустьА
i
-событие, состоящее в том, что карту брали из
наудачу взятой колоды под номером i( i=1,2,3). В - событие, со-
стоящее в том, что взятая карта- туз. События А
1
,А
2
,А
3
равновозможны, отсюда
Р(А
1
)= Р(А
2
)= Р(А
3
)=
3
1
; Р(В/А
1
)=
9
1
36
4
=
; Р(В/А
2
)=
9
1
; Р(В/А
3
)=
13
1
52
4
=
; Р(В)=
351
35
13
1
3
1
9
1
3
1
9
1
3
1
=⋅+⋅+⋅
.
8.Теорема гипотез.(Формула Байеса).
Следствием теоремы умножения и формулы полной вероят-
ности является так называемая теорема гипотез или формула
Байеса. Поставим задачу: имеется полная группа несовместных
гипотез А
1
,А
2
,А
3
,…,А
п
Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление
некоторого события В. Спрашивается, как следует изменить ве-
роятности гипотез в связи с появлением этого события?
Т.е., найти условную вероятность Р(А
i
/В) находится по формуле
Байеса: Р(А
i
/В)=
)/()(
)/()(
1
i
n
i
I
ii
АВРАР
АВРАР
⋅
⋅
∑
=
Задача1
Телеграфное сообщение состоит из сигналов "точка" и " тире".
Статистические свойства помех таковы, что искажаются в сред-
нем
5
2
сообщений "точка" и
3
1
сообщений " тире". Известно, что
среди передаваемых сигналов "точка" и "тире" встречаются в от-
ношении5:3. Определить вероятность того, что принят переда-
ваемый сигнал, если: а)принят сигнал "точка"; б) принят сигнал
"тире".
Решение.
Пусть событие А: -"принят сигнал "точка" "; В-" принят сигнал
"тире"". Можно сделать две гипотезы: А
1
-"передан сигнал "точ-
ка""; А
2
-"передан сигнал "тире" ". По условию Р(А
1
): Р(А
2
)=5:3.
23
Кроме того, Р(А
1
)+ Р(А
2
)=1. Поэтому Р(А
1
)=
8
5
, Р(А
2
)=
8
3
Р(А/ А
1
)=
5
3
, Р(А/ А
2
)=
5
3
,
Р(В/ А
1
)=
5
2
, Р(В/ А
2
)=
3
2
.
Вероятности событий А и В находим по формуле полной вероят-
ности: Р(А)=
2
1
3
1
8
3
5
3
8
5
=⋅+⋅
, Р(В)=
2
1
3
2
8
3
5
2
8
5
=⋅+⋅
.
Искомые вероятности будут вычислены по формуле Байеса:
Р(А
1
/А)=
)(
)/()(
11
АР
ААРАР
⋅
=
4
3
2
1
5
3
8
5
=
⋅
Р(А
2
/В)=
)(
)/()(
22
ВР
АВРАР
⋅
=
2
1
2
1
3
2
8
3
=
⋅
Задача2.
70% деталей, поступающих на сборку, изготовлены автоматом,
дающим 2% брака, а 30% - автоматом, дающим 5% брака. Нау-
дачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность
того, что эта деталь изготовлена первым автоматом?
Решение.
Пусть событие А
1
-" деталь изготовлена первым автоматом", А
2
-
"деталь изготовлена вторым автоматом". Тогда
3,0
100
30
)(;7,0
100
70
)(
21
==== АРАР . Пусть В - собы-
тие, заключающееся в том, что деталь бракованная. По условию
05,0
100
5
)/(;02,0
100
2
)/(
21
==== АВРАВР
. Тогда
22 23
Решение.ПустьАi-событие, состоящее в том, что карту брали из 5 3
наудачу взятой колоды под номером i( i=1,2,3). В - событие, со- Кроме того, Р(А 1)+ Р(А2)=1. Поэтому Р(А1)= , Р(А2)=
8 8
стоящее в том, что взятая карта- туз. События А1,А2,А3
равновозможны, отсюда
3 3
Р(А/ А1)= , Р(А/ А2)= ,
1 4 1 1 5 5
Р(А1)= Р(А2)= Р(А3)=
; Р(В/А1)= = ; Р(В/А2)= ; Р(В/А3)= 2 2
3 36 9 9 Р(В/ А1)= , Р(В/ А2)= .
4 1 1 1 1 1 1 1 35 5 3
= ; Р(В)= ⋅ + ⋅ + ⋅ = . Вероятности событий А и В находим по формуле полной вероят-
52 13 3 9 3 9 3 13 351
5 3 3 1 1 5 2 3 2 1
ности: Р(А)= ⋅ + ⋅ = , Р(В)= ⋅ + ⋅ = .
8.Теорема гипотез.(Формула Байеса). 8 5 8 3 2 8 5 8 3 2
Следствием теоремы умножения и формулы полной вероят- Искомые вероятности будут вычислены по формуле Байеса:
ности является так называемая теорема гипотез или формула
Байеса. Поставим задачу: имеется полная группа несовместных 5 3
гипотез А1,А2,А3,…,Ап ⋅
Р( А1 ) ⋅ Р( А / А1 ) 8 5 3
Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление Р(А1/А)= = =
Р ( А) 1 4
некоторого события В. Спрашивается, как следует изменить ве-
роятности гипотез в связи с появлением этого события? 2
Т.е., найти условную вероятность Р(Аi/В) находится по формуле
Р ( Аi ) ⋅ Р ( В / Аi ) 3 2
Байеса: Р(Аi/В)= ⋅
n Р( А2 ) ⋅ Р ( В / А2 ) 8 3 1
=
∑ Р( А ) ⋅ Р( В / А )
i =1
I i
Р(А2/В)=
Р( В)
=
1 2
Задача1 2
Телеграфное сообщение состоит из сигналов "точка" и " тире".
Статистические свойства помех таковы, что искажаются в сред- Задача2.
70% деталей, поступающих на сборку, изготовлены автоматом,
2 1
нем сообщений "точка" и сообщений " тире". Известно, что дающим 2% брака, а 30% - автоматом, дающим 5% брака. Нау-
5 3 дачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность
среди передаваемых сигналов "точка" и "тире" встречаются в от- того, что эта деталь изготовлена первым автоматом?
ношении5:3. Определить вероятность того, что принят переда- Решение.
ваемый сигнал, если: а)принят сигнал "точка"; б) принят сигнал Пусть событие А1 -" деталь изготовлена первым автоматом", А2 -
"тире". "деталь изготовлена вторым автоматом". Тогда
Решение.
Пусть событие А: -"принят сигнал "точка" "; В-" принят сигнал Р ( А1 ) = 70 = 0,7; Р ( А2 ) = 30 = 0,3 . Пусть В - собы-
100 100
"тире"". Можно сделать две гипотезы: А1-"передан сигнал "точ- тие, заключающееся в том, что деталь бракованная. По условию
ка""; А2-"передан сигнал "тире" ". По условию Р(А1): Р(А2)=5:3.
Р ( В / А1 ) = 2 = 0,02; Р ( В / А2 ) = 5 = 0,05 . Тогда
100 100
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
