Методические указания и дидактические материалы по теории вероятностей. Петрова С.С - 12 стр.

UptoLike

Рубрика: 

22
Решение.ПустьА
i
-событие, состоящее в том, что карту брали из
наудачу взятой колоды под номером i( i=1,2,3). В - событие, со-
стоящее в том, что взятая карта- туз. События А
1
,А
2
,А
3
равновозможны, отсюда
Р(А
1
)= Р(А
2
)= Р(А
3
)=
3
1
; Р(В/А
1
)=
9
1
36
4
=
; Р(В/А
2
)=
9
1
; Р(В/А
3
)=
13
1
52
4
=
; Р(В)=
351
35
13
1
3
1
9
1
3
1
9
1
3
1
=++
.
8.Теорема гипотез.(Формула Байеса).
Следствием теоремы умножения и формулы полной вероят-
ности является так называемая теорема гипотез или формула
Байеса. Поставим задачу: имеется полная группа несовместных
гипотез А
1
,А
2
,А
3
,…,А
п
Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление
некоторого события В. Спрашивается, как следует изменить ве-
роятности гипотез в связи с появлением этого события?
Т.е., найти условную вероятность Р(А
i
/В) находится по формуле
Байеса: Р(А
i
/В)=
)/()(
)/()(
1
i
n
i
I
ii
АВРАР
АВРАР
=
Задача1
Телеграфное сообщение состоит из сигналов "точка" и " тире".
Статистические свойства помех таковы, что искажаются в сред-
нем
5
2
сообщений "точка" и
3
1
сообщений " тире". Известно, что
среди передаваемых сигналов "точка" и "тире" встречаются в от-
ношении5:3. Определить вероятность того, что принят переда-
ваемый сигнал, если: а)принят сигнал "точка"; б) принят сигнал
"тире".
Решение.
Пусть событие А: -"принят сигнал "точка" "; В-" принят сигнал
"тире"". Можно сделать две гипотезы: А
1
-"передан сигнал "точ-
ка""; А
2
-"передан сигнал "тире" ". По условию Р(А
1
): Р(А
2
)=5:3.
23
Кроме того, Р(А
1
)+ Р(А
2
)=1. Поэтому Р(А
1
)=
8
5
, Р(А
2
)=
8
3
Р(А/ А
1
)=
5
3
, Р(А/ А
2
)=
5
3
,
Р(В/ А
1
)=
5
2
, Р(В/ А
2
)=
3
2
.
Вероятности событий А и В находим по формуле полной вероят-
ности: Р(А)=
2
1
3
1
8
3
5
3
8
5
=+
, Р(В)=
2
1
3
2
8
3
5
2
8
5
=+
.
Искомые вероятности будут вычислены по формуле Байеса:
Р(А
1
/А)=
)(
)/()(
11
АР
ААРАР
=
4
3
2
1
5
3
8
5
=
Р(А
2
/В)=
)(
)/()(
22
ВР
АВРАР
=
2
1
2
1
3
2
8
3
=
Задача2.
70% деталей, поступающих на сборку, изготовлены автоматом,
дающим 2% брака, а 30% - автоматом, дающим 5% брака. Нау-
дачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность
того, что эта деталь изготовлена первым автоматом?
Решение.
Пусть событие А
1
-" деталь изготовлена первым автоматом", А
2
-
"деталь изготовлена вторым автоматом". Тогда
3,0
100
30
)(;7,0
100
70
)(
21
==== АРАР . Пусть В - собы-
тие, заключающееся в том, что деталь бракованная. По условию
05,0
100
5
)/(;02,0
100
2
)/(
21
==== АВРАВР
. Тогда