ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
4
Решение
. Расписание на каждый день может отличаться либо
предметами, либо порядком расположения этих предметов,
по-
этому имеем размещения:
.7208910
3
10
=⋅⋅=А
Задача.
Сколько было участников конференции, если известно,
что при регистрации использованы все трехзначные номера, не
содержащие ни одной восьмерки.
Решение:
Перечислим однозначные номера, не содержащие
восьмерку: 0,1,2,3,4,5,6,7,9 - таких номеров 9. Далее, найдем все
двузначные номера, не содержащие восьмерки. Их можно соста-
вить так: взять любой из найденных однозначных номеров и на-
писать после него любую из десяти допустимых цифр. В резуль-
тате из каждого однозначного номера получится девять двузнач-
ных, а так как
однозначных номеров тоже 9, то получится 9
2
=81
двузначный номер без восьмерки, но за каждым из этих номеров
можно поставить любую из допускаемых цифр. В результате по-
лучится 9
3
=729 трехзначных номеров. Значит, участников кон-
ференции было 729.
Задачи для самостоятельного решения на темы: принцип ум-
ножения и на размещения:
Задача 1.В группе 25 студентов. Сколькими способами можно
выбрать старосту, профорга и казначея?
Задача 2. Код в сейфе состоит из трех букв и двух цифр. Сколь-
ко существует возможностей набирания кода, если буквы и циф-
ры не повторяются. В русском алфавите 33 буквы
Задача 3. Сколько трехзначных цифр можно составить из цифр
0,1,2,3,4 ( без повторений
).
Задача 4. В шахматном турнире участвуют 5 мужчин и 8 жен-
щин. Сколькими способами можно составить 3 смешанные пары?
Задача 5. В восьмиместный автомобиль садятся 8 пассажиров,
среди которых два инвалида, 3 ребенка, 2 человека с водитель-
скими правами. В автомобиле два места для детей, одно место
для инвалидов. Сколькими способами займут свои места пасса-
жиры?
Задача 6. В
забеге участвуют 7 спортсменов. Сколькими спосо-
бами распределятся первые три места?
Задача 7. Сколько различных трехцветных флагов можно изгото-
вить, комбинируя синий, красный и зеленый цвет?
5
Задача 8. На железной дороге 20 станций на каждом билете пе-
чатаются названия станций отправления и прибытия. Сколько
различных билетов можно напечатать?
Задача. 9. Читатель отобрал в библиотеке 6 книг,
но разрешалось
отдавать на дом не более трех книг. Сколько способов отбора по
три книги из шести имеется у читателя?
Задача 10. Бросаются три игральные кости. Сколько при этом бу-
дет возможных исходов?
Задача 11. Имеется 5 различных кресел и 8 рулонов обивочной
ткани различных цветов. Сколькими способами можно осущест-
вить обивку кресел?
3.Перестановки
Если брать размещения из "п" по "п" элементов, то они могут
отличаться друг от друга только порядком входящих в них эле-
ментов. Такие соединения называются перестановками из "п"
элементов.
!1)2()1( nпппАP
n
nп
=⋅⋅⋅−⋅−⋅==
Задача 1
. Сколько различных цифр можно составить из цифр
1,2,3,4,5 так, чтобы ни одна цифра не повторялась дважды в од-
ном числе?
Р= 5!=120.
Задача 2.
30 книг стоит на книжной полке, из них 27 различных
книг и одного автора три книги. Сколькими способами можно
расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора
стояли рядом?
Решение.
Будем считать три книги одного автора за одну книгу,
тогда число перестановок будет
28
Р . А три книги можно пере-
ставлять между собой
3
Р способами, тогда по правилу произве-
дения имеем, что искомое число способов равно:
3
Р
×
28
Р
=3!×28!
Задачи для самостоятельного решения на тему: перестановки
Задача1.Сколькими способами могут сесть в автомобиль 6 чело-
век, каждый из которых может быть водителем?
Задача2. Собрание сочинений известного бурятского писателя
Вампилова А. состоит из 8 книг. Сколькими способами можно
разместить эти книги на книжной полке?
Задача3. Команда шахматистов состоит из 7 спортсменов. Перед
игрой нужно выбрать шахматиста, выступающего на первой дос
4 5
Решение. Расписание на каждый день может отличаться либо Задача 8. На железной дороге 20 станций на каждом билете пе-
предметами, либо порядком расположения этих предметов, по- чатаются названия станций отправления и прибытия. Сколько
этому имеем размещения: А103 = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720. различных билетов можно напечатать?
Задача. 9. Читатель отобрал в библиотеке 6 книг, но разрешалось
Задача. Сколько было участников конференции, если известно,
отдавать на дом не более трех книг. Сколько способов отбора по
что при регистрации использованы все трехзначные номера, не
три книги из шести имеется у читателя?
содержащие ни одной восьмерки.
Задача 10. Бросаются три игральные кости. Сколько при этом бу-
Решение: Перечислим однозначные номера, не содержащие
дет возможных исходов?
восьмерку: 0,1,2,3,4,5,6,7,9 - таких номеров 9. Далее, найдем все
Задача 11. Имеется 5 различных кресел и 8 рулонов обивочной
двузначные номера, не содержащие восьмерки. Их можно соста-
ткани различных цветов. Сколькими способами можно осущест-
вить так: взять любой из найденных однозначных номеров и на-
вить обивку кресел?
писать после него любую из десяти допустимых цифр. В резуль-
3.Перестановки
тате из каждого однозначного номера получится девять двузнач-
Если брать размещения из "п" по "п" элементов, то они могут
ных, а так как однозначных номеров тоже 9, то получится 92=81
отличаться друг от друга только порядком входящих в них эле-
двузначный номер без восьмерки, но за каждым из этих номеров
ментов. Такие соединения называются перестановками из "п"
можно поставить любую из допускаемых цифр. В результате по-
лучится 93=729 трехзначных номеров. Значит, участников кон- элементов. Pп = Аnn = п ⋅ (п − 1) ⋅ (п − 2) ⋅ ⋅ ⋅ 1 = n!
ференции было 729. Задача 1. Сколько различных цифр можно составить из цифр
Задачи для самостоятельного решения на темы: принцип ум- 1,2,3,4,5 так, чтобы ни одна цифра не повторялась дважды в од-
ножения и на размещения: ном числе?
Задача 1.В группе 25 студентов. Сколькими способами можно Р= 5!=120.
выбрать старосту, профорга и казначея? Задача 2. 30 книг стоит на книжной полке, из них 27 различных
Задача 2. Код в сейфе состоит из трех букв и двух цифр. Сколь- книг и одного автора три книги. Сколькими способами можно
ко существует возможностей набирания кода, если буквы и циф- расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора
ры не повторяются. В русском алфавите 33 буквы стояли рядом?
Задача 3. Сколько трехзначных цифр можно составить из цифр Решение. Будем считать три книги одного автора за одну книгу,
0,1,2,3,4 ( без повторений). тогда число перестановок будет Р28 . А три книги можно пере-
Задача 4. В шахматном турнире участвуют 5 мужчин и 8 жен-
щин. Сколькими способами можно составить 3 смешанные пары? ставлять между собой Р3 способами, тогда по правилу произве-
Задача 5. В восьмиместный автомобиль садятся 8 пассажиров, дения имеем, что искомое число способов равно: Р3 × Р28 =3!×28!
среди которых два инвалида, 3 ребенка, 2 человека с водитель- Задачи для самостоятельного решения на тему: перестановки
скими правами. В автомобиле два места для детей, одно место Задача1.Сколькими способами могут сесть в автомобиль 6 чело-
для инвалидов. Сколькими способами займут свои места пасса- век, каждый из которых может быть водителем?
жиры? Задача2. Собрание сочинений известного бурятского писателя
Задача 6. В забеге участвуют 7 спортсменов. Сколькими спосо- Вампилова А. состоит из 8 книг. Сколькими способами можно
бами распределятся первые три места? разместить эти книги на книжной полке?
Задача 7. Сколько различных трехцветных флагов можно изгото- Задача3. Команда шахматистов состоит из 7 спортсменов. Перед
вить, комбинируя синий, красный и зеленый цвет? игрой нужно выбрать шахматиста, выступающего на первой дос
