ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
6
ке, и шахматиста, играющего на второй доске. Остальные пять
шахматистов произвольным образом играют на 3-7 досках.
Сколько имеется различных вариантов выступления команды на
7 досках?
4. Сочетания без повторений
Сочетаниями из "n" элементов по "m" элементов называются
такие соединения из "m" элементов, которые отличаются друг от
друга составом, но не порядком элементов.
Число сочетаний из "n" элементов по "m" элемен-
тов
[]
!
)1()2()1(
m
тпппп
Р
А
С
m
m
n
m
n
−−⋅⋅⋅−⋅−⋅
==
,
)!(!
!
тпm
п
C
m
n
−
=
Справедливо следующее свойство:
mn
n
m
n
СС
−
= .
Задача.
В классе 20 учеников. Сколькими способами можно вы-
брать из них трех человек для участия в олимпиаде?
Решение.
Искомое число способов выбора учеников равно
.1140
6
6840
!3
181920
3
3
20
3
20
==
⋅⋅
==
Р
А
С
Задача.
В поисковой группе 6 человек. Для поисков группа раз-
бивается на отряды, но так, чтобы в них было не менее двух че-
ловек и не более пяти человек. Сколько различных отрядов мож-
но образовать?
Решение.
Определим количество отрядов по два человека:
15
2
6
=С . Определим количество отрядов по три челове-
ка:
20
3
6
=С
. Количество отрядов по четыре человека:
15
4
6
=С
.
Количество отрядов по пять человек:
6
1
6
5
6
== СС
. Общее число
отрядов по правилу суммы будет: 15+20+15+6=56.
Задача.
Некоторое акционерское общество состоит из 12 чело-
век. Минимальный кворум для принятия решения должен насчи-
тывать 8 человек.
1)Сколькими способами может быть достигнут минимальный
кворум?
7
Решение
.
495
!4
9101112
4
12
8
12
=
⋅
⋅
⋅
== СС
2)Сколькими способами может быть достигнут кворум, если на
заседаниях присутствует 8, 9,10,11 или 12 акционеров?
Решение:
Кворум достигается, если на заседаниях присутствует
8,9,10,11 или 12 акционеров. Согласно правилу суммы искомое
число равно
7941
!1
12
!2
1112
!3
101112
495
0
12
1
12
2
12
3
12
4
12
12
12
11
12
10
12
9
12
8
12
=++
⋅
+
⋅⋅
+
=++++=++++ СССССССССС
Задача.
6 мужчин и 11 женщин в цехе заболели неизвестным
заболеванием. Чтобы поставить диагноз, следует взять выбороч-
ный анализ у 3 женщин и 2 мужчин. Сколькими способами мож-
но это сделать?
Решение
. Из 6 мужчин выбрать двух мож-
но
15
!2
56
2
6
=
⋅
=С
способами. Из 11 женщин выбрать трех мож-
но
165
!3
91011
3
11
=
⋅
⋅
=С способами. Согласно правилу произведе-
ния имеется 15⋅165=2475 способов выбора двух мужчин и трех
женщин.
Задача.
В магазине работает 20 продавцов, из которых 6 муж-
чин. В смене занято 6 продавцов. Сколько различных смен можно
составить, если в каждую смену работает: 3 мужчин.
Решение.
По принципу умножения перемножаем числа способов
отбора мужчин и женщин: п=
3
14
3
6
СС ⋅
=7280.
5.Сочетания с повторениями.
Имеются предметы п различных типов. Сочетаниями с повторе-
ниями из "n" элементов по "m" элементов называются такие со-
единения из "m" элементов, которые отличаются друг от друга
хотя бы одним элементом.
)!1(!
)!1(
1
−
−
+
==
−+
nm
тп
СС
m
nm
m
n
6 7
ке, и шахматиста, играющего на второй доске. Остальные пять Решение.
шахматистов произвольным образом играют на 3-7 досках. 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9
Сколько имеется различных вариантов выступления команды на С128 = С124 = = 495
4!
7 досках?
2)Сколькими способами может быть достигнут кворум, если на
заседаниях присутствует 8, 9,10,11 или 12 акционеров?
4. Сочетания без повторений
Решение: Кворум достигается, если на заседаниях присутствует
Сочетаниями из "n" элементов по "m" элементов называются
8,9,10,11 или 12 акционеров. Согласно правилу суммы искомое
такие соединения из "m" элементов, которые отличаются друг от
число равно
друга составом, но не порядком элементов.
С128 + С129 + С1210 + С12
11
+ С1212 = С124 + С123 + С122 + С12
1
+ С120 =
Число сочетаний из "n" элементов по "m" элемен-
12 ⋅ 11 ⋅ 10 12 ⋅ 11 12
Аnm п ⋅ (п − 1) ⋅ (п − 2) ⋅ ⋅ ⋅ [п − (т − 1)] m п! 495 +
3!
+
2!
+ + 1 = 794
1!
тов С m
n = = , Cn =
Рm m! m!(п − т)! Задача. 6 мужчин и 11 женщин в цехе заболели неизвестным
Справедливо следующее свойство: заболеванием. Чтобы поставить диагноз, следует взять выбороч-
С nm = С nn − m . ный анализ у 3 женщин и 2 мужчин. Сколькими способами мож-
но это сделать?
Задача. В классе 20 учеников. Сколькими способами можно вы- Решение. Из 6 мужчин выбрать двух мож-
брать из них трех человек для участия в олимпиаде?
6⋅5
Решение. Искомое число способов выбора учеников равно но С 62 = = 15 способами. Из 11 женщин выбрать трех мож-
3
А20 20 ⋅ 19 ⋅ 18 6840 2!
3
С 20 = = = = 1140. 11 ⋅ 10 ⋅ 9
Р3 3! 6 но С113 = = 165 способами. Согласно правилу произведе-
3!
Задача. В поисковой группе 6 человек. Для поисков группа раз-
ния имеется 15⋅165=2475 способов выбора двух мужчин и трех
бивается на отряды, но так, чтобы в них было не менее двух че-
женщин.
ловек и не более пяти человек. Сколько различных отрядов мож-
Задача. В магазине работает 20 продавцов, из которых 6 муж-
но образовать?
чин. В смене занято 6 продавцов. Сколько различных смен можно
Решение. Определим количество отрядов по два человека:
составить, если в каждую смену работает: 3 мужчин.
С 62 = 15 . Определим количество отрядов по три челове- Решение. По принципу умножения перемножаем числа способов
ка: С 63 = 20 . Количество отрядов по четыре человека: С 64 = 15 . отбора мужчин и женщин: п= С 63 ⋅ С143 =7280.
Количество отрядов по пять человек: С 65 = С 61 = 6 . Общее число 5.Сочетания с повторениями.
Имеются предметы п различных типов. Сочетаниями с повторе-
отрядов по правилу суммы будет: 15+20+15+6=56.
ниями из "n" элементов по "m" элементов называются такие со-
Задача. Некоторое акционерское общество состоит из 12 чело-
единения из "m" элементов, которые отличаются друг от друга
век. Минимальный кворум для принятия решения должен насчи-
хотя бы одним элементом.
тывать 8 человек.
1)Сколькими способами может быть достигнут минимальный (п + т − 1)!
С nm = С mm+ n −1 =
кворум? m!(n − 1)!
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »
