Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 84 стр.

Рис.4. Равномерная прямоугольная сетка в случае области
сложной   формы   (показана  серым). Белые  квадраты  -
неиспользуемые ячейки сетки.

     Для преодоления указанных трудностей можно использовать
гладкое отображение криволинейной области на прямоугольник
(многомерный прямоугольный параллелепипед), после чего все
дифференциальные уравнения могут быть записаны относительно
новых координат с помощью коэффициентов Ламе.
     Специфика численных расчётов ставит два основные
требования к преобразованию координат:
• 1.По возможности, угловые точки криволинейной области
  должны переходить в углы прямоугольника (параллелепипеда).
  В противном случае вблизи угловых точек преобразование
  будет    иметь   особенности,    что   приведёт   к   ухудшению
  аппроксимации.
• 2.Часто      желательно,      чтобы      координатные     линии
  преобразования были локально ортогональными. Если в
  решаемое уравнение входят эллиптические операторы, то
  ортогональность координатных линий позволяет избавиться от
  смешанных производных по новым переменным.
Пусть преобразование имеет вид x=x(ζ,η), y=y(ζ,η). Тогда
условие локальной ортогональности 0=(rζ,rη)=xζxη+yζyη можно
                  xζ yζ
записать в виде     =-    или
                  yη xη
⎧xη=lyζ
⎨        ,                                             (8.26)
⎩yη=-lxζ
где   l=l(ζ,η)    -    произвольная   функция.    Невырожденность
преобразования приводит к требованию [rζ,rη]≠0, откуда l≠0.
Поскольку l нигде не обращается в ноль, то она сохраняет
знак, и без ограничения общности можно считать l>0. Если
l=const, то переходя к новой переменной η’=lη, получим, что
x=x(ζ,η’), y=y(ζ,η’) удовлетворяют соотношениям Коши-Римана
и являются сопряжёнными гармоническими функциями. Однако