Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 85 стр.

конформные отображения, вообще говоря, не обеспечивают
соответствия угловых точек (условие 1). В [13] отмечено,
что    указанному     требованию        удовлетворяют       обобщённо
конформные   отображения.    В    двумерном       случае    примерная
постановка задачи имеет следующий вид. Требуется найти
функции   x=x(ζ,η),    y=y(ζ,η),      определённые      в   единичном
квадрате D: 0≤ζ,η≤1, отображающие этот квадрат на область G
с криволинейными границами ϕi(x,y)=0, i=1…4. Для этого x и
y должны удовлетворять краевым условиям
ϕ1(x(0,η),y(0,η))=0
ϕ2(x(1,η),y(1,η))=0
                                                           (8.27)
ϕ3(x(ζ,0),y(ζ,0))=0
ϕ4(x(ζ,1),y(ζ,1))=0
и обобщённым уравнениям Коши-Римана (8.26) при некотором
l=const>0,    где    уравнения       ϕi(x,y)=0      задают    границы
криволинейной области. Из (8.26) немедленно следует, что
x(ζ,η) и y(ζ,η) являются гармоническими функциями, а решение
указанной задачи сводится к решению двух уравнений Лапласа
с неоднородными нелинейными краевыми условиями (8.27).
Особенность состоит в подборе l>0.
     Мы рассмотрим несколько иную постановку задачи. В силу
соотношений Коши-Римана преобразование координат можно
                         ∂U      ∂U
представить в виде x= , y=- , где U=U(ζ,η) - некоторая
                         ∂ζ      ∂η
функция.    Тогда     ортогональность         координатных      линий
                                  ⎛∂r ∂r⎞ ∂ U ⎛∂ U ∂ U⎞
                                             2    2   2
эквивалентна      условию      0=⎜ , ⎟=         ⎜ 2 + 2⎟=0,      т.е.
                                  ⎝ ∂ζ ∂η⎠ ∂ζ∂η⎝ ∂ζ ∂η ⎠
гармоничности функции U(ζ,η):

∂2U ∂2U
   + =0.                                                 (8.28)
∂ζ2 ∂η2

На границах прямоугольника 0≤ζ≤1, 0≤η≤l (l>0) функция U(ζ,η)
должна удовлетворять нелинейным краевым условиям

ϕ1(Uζ(0,η),Uη(0,η))=0
ϕ2(Uζ(1,η),Uη(1,η))=0
                                                         (8.29)
ϕ3(Uζ(ζ,0),Uη(ζ,0))=0
ϕ4(Uζ(ζ,l),Uη(ζ,l))=0

По сравнению с задачей (8.26)-(8.27), здесь требуется
решить только одно уравнение Лапласа (8.28). Кроме того, в
отличие от (8.27), условия (8.29) являются однородными по
U, что сильно упрощает численную реализацию алгоритма.
Параметр l>0 в (8.28)-(8.29), также как и в (8.26)-(8.27)
введён для разрешимости задачи и должен быть определён в
процессе счёта. Смысл этого параметра можно понять,
рассмотрев модельный случай, когда исходная область G