ВУЗ:
Составители:
представляет собой прямоугольник. В этом случае все ϕ
i
линейны, и краевые условия (8.29) принимают вид условий
второго рода с косой производной:
∂U
∂b
=a. Если b ортогональна
границе прямоугольника D, (8.28)-(8.29) представляет собой
задачу Неймана, условие разрешимости которой
⌡
⎮
⌠
∂D
(∇U,ds)
=
⌡
⎮
⌠
∂D
ads
=0. Аналогичный результат получается и в случае косой
производной с постоянным углом наклона:
⌡
⎮
⌠
∂D
ads
=
⌡
⎮
⌠
∂D
∂U
∂b
ds
=
⌡
⎮
⌠
∂D
(b∇)Uds
=b
n
⌡
⎮
⌠
∂D
∂U
∂n
ds+b
s
⌡
⎮
⌠
∂D
∂U
∂s
ds=0+0=0. Уравнение
⌡
⎮
⌠
∂D
ads
=0
приводится к виду
⌡
⌠
0
1
[a(ζ,η
1
(ζ))+a(ζ,η
3
(ζ))]dζ
=
⌡
⌠
0
l
[a(ζ
2
(η),η)+a(ζ
4
(η),η)]dη, что и является уравнением на l.
В общем случае (8.28)-(8.29) таких простых соотношений
получить конечно невозможно, но качественно ситуация
остаётся прежней: l находится из условия соответствия
границ.
Итерационное численное решение (8.28)-(8.29) можно
организовать следующим образом. Эллиптическое уравнение
(8.28) аппроксимируется на сетку:
Λ
ζζ
ξ+Λ
ηη
ξ=-Λ
ζζ
U-Λ
ηη
U. (8.30)
Краевые условия (8.29) линеаризуются относительно
приращения ξ=U
(n+1)
-U
(n)
и также аппроксимируются на сетку
ϕ
ix
Λ
2
ζ
ξ+ϕ
iy
Λ
2
η
ξ=-ϕ
i
, (8.31)
после чего задача сводится к решению эллиптического
уравнения с краевыми условиями 2-го рода. Легко видеть, что
(8.30)-(8.31) аппроксимируют (8.28)-(8.29) с погрешностью
O(h
2
). (8.30) сводится к параболическому конечно-разностному
уравнению
ξ+τΛ
ζζ
ξ+τΛ
ηη
ξ=-τΛ
ζζ
U-τΛ
ηη
U, (8.32)
решаемому установлением с помощью расщепления по
направлениям. Краевые условия (8.31) заменяются уравнением
переноса (ω≠0 - итерационный параметр)
представляет собой прямоугольник. В этом случае все ϕi
линейны, и краевые условия (8.29) принимают вид условий
∂U
второго рода с косой производной: =a. Если b ортогональна
∂b
границе прямоугольника D, (8.28)-(8.29) представляет собой
задачу Неймана, условие разрешимости которой ⌠ ⌠
⎮(∇U,ds)= ⎮ads
⌡ ⌡
∂D ∂D
=0. Аналогичный результат получается и в случае косой
производной с постоянным углом наклона: ⌠ads= ⌠∂Uds
⎮ ⎮
⌡ ⌡∂b
∂D ∂D
⌠∂U ⌠∂U
=⌠
⎮(b∇)Uds=bn ⎮∂nds+bs ⎮∂sds=0+0=0. Уравнение ⌠ads=0
⎮
⌡ ⌡ ⌡ ⌡
∂D ∂D ∂D ∂D
1
приводится к виду ⌠
⌡[a(ζ,η1(ζ))+a(ζ,η3(ζ))]dζ
0
l
⌠[a(ζ2(η),η)+a(ζ4(η),η)]dη, что и является уравнением на l.
=⌡
0
В общем случае (8.28)-(8.29) таких простых соотношений
получить конечно невозможно, но качественно ситуация
остаётся прежней: l находится из условия соответствия
границ.
Итерационное численное решение (8.28)-(8.29) можно
организовать следующим образом. Эллиптическое уравнение
(8.28) аппроксимируется на сетку:
Λζζξ+Ληηξ=-ΛζζU-ΛηηU. (8.30)
Краевые условия (8.29) линеаризуются относительно
приращения ξ=U(n+1)
-U(n)
и также аппроксимируются на сетку
2 2
ϕixΛζ ξ+ϕiyΛηξ=-ϕi, (8.31)
после чего задача сводится к решению эллиптического
уравнения с краевыми условиями 2-го рода. Легко видеть, что
(8.30)-(8.31) аппроксимируют (8.28)-(8.29) с погрешностью
O(h2). (8.30) сводится к параболическому конечно-разностному
уравнению
ξ+τΛζζξ+τΛηηξ=-τΛζζU-τΛηηU, (8.32)
решаемому установлением с помощью расщепления по
направлениям. Краевые условия (8.31) заменяются уравнением
переноса (ω≠0 - итерационный параметр)
