Термодинамическое равновесие и его численное моделирование. Петрусев А.С. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

в приближении Φ
i
=const при наличии линейных связей (22)-(24).
Кратко рассмотрим решение задачи лине
й
ного программирования,
отсылая за подробностями, например в [6]. В нашем случае, как уже
отмечалось, требуется найти минимум (31) при наличии линейных
связей (22)-(24). Кроме того, должны выполняться условия
неотрицательности концентраций
y
i
≥0. (32)
Условия (22)-(24) определяют некоторую гиперплоскость,
пересечение которой с координатными гиперплоскостями первого
квадранта (y
i
≥0) задаёт некоторый выпуклый многогранник, возможно
неограниченный. Экстремум линейной функции (31) не может
достигаться ни внутри многогранника, ни на его гранях, ни на его
рёбрах, а только на его вершинах. Нахождение экстремума (31)
можно свести к перебору всех вершин многогранника, однако их
число может быть весьма большим, что делает такую задач
у
практически неразрешим
о
й. Значительно проще нужную вершину можно
найти пользуясь симплекс-методом. Симплекс-метод основан на
последовательном переборе вершин, двигаясь вдоль рёбер, в
направлении убывания выражения (31). Процесс считается
законченным, если (31) возрастает при движении по любому из
рёбер, выходящих из вершины.
Для нахождения первой вершины многогранника нужно найти
какое-нибудь частное решение уравнений связи (22)-
(
24),
удовлетворяющее условиям неотрицательности (32). Запишем (22)
-
(24) в виде
Σ
p
i=1
g
ji
y
i
=b
j
, j=1…q, q<p. (33)
Как известно из линейной алгебры, (33) можно представить в виде:
Σ
i⊂I(p)
g
ji
y
i
=b
j
-
Σ
i⊄I(p)
g
ji
y
i
, (33)
где I(p) - множество номеров столбцов матрицы g
ik
,
на которых
построен её базисный минор. Перебором всех базисных миноров M
I
(p)
следует найти такой, который даёт частное решение
y
i
=
Σ
j⊂I(p)
(M
I(p)
)
-1
ij
b
j
, i⊂I(p), (34)
в котором все y
i
≥0, i⊂I(p). Если такого базисного минора нет
-
задача о поиске минимума неразрешима (условия (22)-
(
24) и (32)
несовместны). Если подходящее решение (34) найдено, следует
определить все рёбра, выходящие из этой вершины. Этими рёбрами
будут однопараметрические множества (прямые), задаваемые
уравнениями 
в приближении Φi=const при наличии линейных связей (22)-(24).
     Кратко рассмотрим решение задачи линейного программирования,
отсылая за подробностями, например в [6]. В нашем случае, как уже
отмечалось, требуется найти минимум (31) при наличии линейных
связей   (22)-(24).  Кроме   того,  должны   выполняться  условия
неотрицательности концентраций

yi≥0.                                                  (32)

Условия    (22)-(24)    определяют     некоторую    гиперплоскость,
пересечение которой с координатными гиперплоскостями первого
квадранта (yi≥0) задаёт некоторый выпуклый многогранник, возможно
неограниченный.   Экстремум   линейной   функции   (31)  не   может
достигаться ни внутри многогранника, ни на его гранях, ни на его
рёбрах, а только на его вершинах. Нахождение экстремума (31)
можно свести к перебору всех вершин многогранника, однако их
число может быть весьма большим, что делает такую задачу
практически неразрешимой. Значительно проще нужную вершину можно
найти пользуясь симплекс-методом. Симплекс-метод основан на
последовательном переборе вершин, двигаясь вдоль рёбер, в
направлении    убывания   выражения    (31).    Процесс   считается
законченным, если (31) возрастает при движении по любому из
рёбер, выходящих из вершины.
     Для нахождения первой вершины многогранника нужно найти
какое-нибудь    частное   решение   уравнений    связи   (22)-(24),
удовлетворяющее условиям неотрицательности (32). Запишем (22)-
(24) в виде
 p

Σg
i=1
      jiyi=bj,     j=1…q, q

Страницы