Термодинамическое равновесие и его численное моделирование. Петрусев А.С. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

y
i
=
Σ
j⊂I(p)
(M
I(p)
)
-1
ij
(b
j
-g
jk
y
k
), i⊂I(p), k⊄I(p).
Всего имеется p-Rang(g
ji
)
рёбер. После этого последовательно
определяют смежные вершины, соответствующие каждому ребру. Для
этого увеличивают y
k
до тех пор, пока одна из базовых координат y
i
не обратиться в ноль (что соответствует пересечению ребра с одной
из граней первого квадранта (32)). Это достигается при
y
k
=min
i
Σ
j⊂I(p)
(M
I(p)
)
-1
ij
b
j
Σ
j⊂I(p)
(M
I(p)
)
-1
ij
g
jk
, (35)
где минимум ищется только для тех i, для которых знаменатель (35)
положителен. Если для всех i знаменатель (35) отрицателен или
равен нулю, то это соответствуют ребру, уходяще
м
у в
бесконечность. При этом без ограничения общности можно положить
y
k
=1, что будет соответствовать некоторой точке на неограниченно
м
ребре. Затем на смежных вершинах вычисляется значение
минимизируемой функции (31). Если на всех смежных вершинах
значение выражения (31) больше значения в исходной вершине, то
минимум найден, задача решена. Если это значение меньше значения
в исходной вершине, то переходим в эту вершину и повторяе
м
процесс. Если в последнем случае ребро неограничено, то выражение
(31) также неограничено снизу и решения нет.
Отметим, что в конкретном случае уравнений (22)-
(
24),
многогранник всегда оказывается ограниченным. Это следует из
того, что все вещества состоят из элементов, следовательно любое
из y
i
входит хотя бы в одно из уравнений (23) со строго
положительным коэффициентом a
ji
.
Поскольку по физическому смысл
у
все правые части b
j
неотрицательны (т.к. выражают мольное
содержание элементов в системе), то из (23) в силу (32) и
неотрицательности всех a
ji
следует неравенство y
i
≤b
j
/a
ji
,
гарантирующее ограниченность многогранника.
Результатом решения задачи линейного программирования
являются значения y
i
по которым далее требуется приближённо
определить λ
i
. Это можно сделать различными методами, например
методом наименьших квадратов. Для э
т
ого необходимо ограничить
значения y
i
, запретив им обращаться в ноль. Например, для всех
y
i
=0 можно положить y
i
=y
min
, где y
min
>0 - некоторая малая величина,
например y
min
=10
-10
Σ
p
i=1
y
i
. Минимизация выражения
E(λ)=
Σ
p
i=1
α(y
i
)(ln
RTy
i
p
0
v
-
Φ
i
R
-
Σ
j
λ
j
a
ji
-λ
e
Z
i
)
2
приводит к системе линейных уравнений 
yi=   Σ
  j⊂I(p)
                        -1
               (MI(p))ij(bj-gjkyk), i⊂I(p), k⊄I(p).

Всего имеется p-Rang(gji) рёбер. После этого последовательно
определяют смежные вершины, соответствующие каждому ребру. Для
этого увеличивают yk до тех пор, пока одна из базовых координат yi
не обратиться в ноль (что соответствует пересечению ребра с одной
из граней первого квадранта (32)). Это достигается при


                Σ
           j⊂I(p)
                             -1
                    (MI(p))ijbj
yk=min                          ,                                   (35)
      i
               Σ
           j⊂I(p)
                           -1
                    (MI(p))ijgjk


где минимум ищется только для тех i, для которых знаменатель (35)
положителен. Если для всех i знаменатель (35) отрицателен или
равен    нулю,   то    это   соответствуют    ребру,    уходящему     в
бесконечность. При этом без ограничения общности можно положить
yk=1, что будет соответствовать некоторой точке на неограниченном
ребре.    Затем   на    смежных   вершинах    вычисляется     значение
минимизируемой функции (31). Если на всех смежных вершинах
значение выражения (31) больше значения в исходной вершине, то
минимум найден, задача решена. Если это значение меньше значения
в исходной вершине, то переходим в эту вершину и повторяем
процесс. Если в последнем случае ребро неограничено, то выражение
(31) также неограничено снизу и решения нет.
     Отметим, что в конкретном случае уравнений (22)-(24),
многогранник всегда оказывается ограниченным. Это следует из
того, что все вещества состоят из элементов, следовательно любое
из yi входит хотя бы в одно из уравнений (23) со строго
положительным коэффициентом aji. Поскольку по физическому смыслу
все правые части bj неотрицательны (т.к. выражают мольное
содержание элементов в системе), то из (23) в силу (32) и
неотрицательности     всех   aji  следует    неравенство     yi≤bj/aji,
гарантирующее ограниченность многогранника.
     Результатом    решения   задачи   линейного     программирования
являются значения yi, по которым далее требуется приближённо
определить λi. Это можно сделать различными методами, например
методом наименьших квадратов. Для этого необходимо ограничить
значения yi, запретив им обращаться в ноль. Например, для всех
yi=0 можно положить yi=ymin, где ymin>0 - некоторая малая величина,
                                   p
например ymin=10             -10
                                   Σy .
                                  i=1
                                        i   Минимизация выражения

           p
                             RTyi Φi
E(λ)=     Σ α(y )(ln p v - R -Σλ a
          i=1
                    i         0
                                            j
                                                j ji-λeZi)
                                                          2




приводит к системе линейных уравнений

Страницы