Термодинамическое равновесие и его численное моделирование. Петрусев А.С. - 13 стр.

                     p
                                  RTyi Φi
Σ α(y )a
i,j
      i   kiajiλj=
                 i=1
                     Σ α(y )a
                          i   ki(lnp0v - R ),

решая которую, находим приближённые значения λj, λe. Весовые
коэффициенты α(yi)>0 используют для уменьшения вклада в сумму
E(λ) слагаемых, соответствующих малым yi, которые известны с
большой погрешностью. Например, можно положить α(yi)=(yi)ε, где
ε=0.1÷0.5. В целом, процедура вычисления начального приближения с
помощью     линейного     программирования     оказывается     довольно
громоздкой.
     Другим     сравнительно     эффективным     методом     вычисления
начального приближения является грубое решение системы уравнений
(19)-(25) каким-либо методом, обладающим хорошей устойчивостью,
например методом покоординатного спуска (см. [6]). По аналогии с
демпфированным методом Ньютона, метод покоординатного спуска
основан на использовании нормированной невязки. Однако, в отличие
от метода Ньютона, минимум невязки ищется не вдоль направления
(f’(xn))-1(f(xn)-b), а последовательно по каждой из переменных
методом    дихотомии     или   золотого    сечения.    Из-за    сильной
нелинейности системы уравнений, метод покоординатного спуска, по
сравнению с демпфированным методом Ньютона, оказывается менее
трудоёмок (не требуется решать систему линейных уравнений), более
устойчив и на начальном этапе часто даёт более быструю
сходимость.    Такой    метод   вычисления   начального    приближения
значительно проще использования линейного программирования. В
тоже время, из-за нелинейности решаемых уравнений, существует
опасность сходимости итераций покоординатного спуска к побочному
минимуму нормированной невязки. Это является весьма неприятным
исходом и может привести к развалу последующего счёта.
     В некоторых простых случаях решение задачи линейного
программирования (31),(22)-(24) даёт точное решение задачи о
термодинамическом равновесии. С помощью этого метода можно также
несколько уточнить корни системы уравнений (19)-(25), полученные
после Ньютоновских итераций. Несмотря на полезность данной
процедуры, она не решает полностью проблему малых концентраций,
являясь некоторым компромиссом между погрешностью, даваемой
методом    Ньютона    из-за   вырождения    уравнений    (22)-(24)    и
приближённостью задачи минимизации (31) при Φi=const. Кроме того,
вычисление Φi производиться легко, только если задана температура
системы. Если вместо температуры задаются другие параметры
(например    U    или    H),   использование     процедуры    линейного
программирования      перед     началом     расчёта     представляется
проблематичным.
     Решить проблему малых концентраций позволяет предложенный
автором     метод     «квазилинейного     исключения»,     применённый
последовательно к уравнениям (22)-(24). Этот метод аналогичен
процедуре исключения Гаусса с выбором главного элемента при
решении системы линейных уравнений и состоит в следующем. В
первом из уравнений (22) выбирается «лидирующее вещество»,
имеющее максимальное значение yiaji. После этого, первое уравнение