Термодинамическое равновесие и его численное моделирование. Петрусев А.С. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

(f(x
n+1
(λ))-b)
2
=(f(x
n
)-b)
2
-2λ
∂f
i
∂ξ
j
z
j
(f
i
(x
n
)-b
i
)+λ
2
∂f
i
∂ξ
j
z
j
∂f
i
∂ξ
k
z
k
+O(λ
3
)≤
(1-λ)
2
(f(x
n
)-b)
2
+Сλ
3
т.е. невязка, как функция λ имеет минимум. Если С мало, что
соответствует хорошему начальному приближению, то миниму
м
достигается при λ≈1. В обратном случае, минимум будет достигаться
при меньших λ. Практически, для поиска λ
опт
обычно используют
минимизирующую последовательность λ
m
=q
m
,
где 0<q<1 берут в
пределах 0.1-0.7. Нетрудно заметить, что данная процедура
обеспечивает сходимость итераций к решению (27), поскольку на
каждой итерации величина |f(x
n
)-b| убывает.
Стандартный вид метода Ньютона соответствует λ
=
1. Метод
минимизации невязки использует λ≤1. По этой причине
е
го иначе
называют процедурой демпфирования, а весь алгоритм - методо
м
Ньютона с демпфированием.
Однако, как показал опыт, сходимость демпфированного метода
в приведённом виде часто оказывается чрезвычайно медленной.
Причина этого состоит в том, что для д
о
стижения наискорейшей
сходимости следует искать не min
λ
|f(x(λ))-b|, а min
λ
|x
n+1
(λ)-ξ
|
, что
далеко не одно и тоже. Но ведь величина ξ неизвестна - её
вычисление и составляет задачу расчёта. Возможный выход состоит в
том, что x
n+1
(λ)-ξ≈f’
-1
(f(x(λ))-
b
) и следует искать миниму
м
выражения min
λ
|(f’(x
n
))
-1
(f(x(λ))-b)|
2
Такой подход был предложен
П.Дёфлхардом. Видно, что минимумы min
λ
|f(x(λ))-b| и min
λ
|(f’(x
n
))
-
1
(f(x(λ))-b)|
2
сильно различаются, если матрицы (f’(x
n
))
-1
и,
соответственно, f’(x
n
)
имеют большой разброс собственных
значений, т.е. обладают
«жёсткостью»
.
В этом случае говорят, что
функционал Ф(λ)=|f(x(λ))-b|
2
обладает большой овражистостью.
По методу Дёфлхарда на
к
аждом шаге минимизации требуется
решать систему линейных уравнений f’(x
n
)ε
m
=f(x(λ
m
))-
b
, что
довольно трудоёмко. Более простой, но не менее эффективный метод
предложен Р.П.Федоренко. Он состоит в поиске минимума функционала
более простого вида: min
λ
Σ
i
|f
i
(x(λ))-b
i
|
|∇f
i
(x
n
)|
.
Методы такого типа получили название минимизации
нормированной невязки и оказались весьма эффективными на
практике. Они обеспечивают надежную, хотя и не очень быстру
ю
сходимость итераций к решению (27) даже при грубом начально
м
приближении. Это свойство оказывается весьма ценным и привело к
тому, что метод Ньютона с минимизацией нормированной невязки в
настоящее время является основным средством решения систем
ы
уравнений (19)-(25).
6.Проблема малых концентраций.
                                ∂fi                 ∂fi ∂fi
(f(xn+1(λ))-b)2=(f(xn)-b)2-2λ       zj(fi(xn)-bi)+λ2 zj zk+O(λ3)≤
                                ∂ξj                 ∂ξj ∂ξk
(1-λ)2(f(xn)-b)2+Сλ3

т.е. невязка, как функция λ имеет минимум. Если С мало, что
соответствует   хорошему  начальному   приближению,   то   минимум
достигается при λ≈1. В обратном случае, минимум будет достигаться
при меньших λ. Практически, для поиска λопт обычно используют
минимизирующую последовательность λm=qm, где 0

Страницы