Термодинамическое равновесие и его численное моделирование. Петрусев А.С. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

последней из перечисленных трудностей - сильной нелинейности
системы уравнений.
5.Модифицированный метод Ньютона.
Предположим, что нам требуется решить нелинейную систем
у
уравнений
f(x)=b, (27)
где левая часть f(x) является непрерывно дифференцируемой вектор
-
функцией. Метод Ньютона основан на уточнении некоторого
начального приближения x
0
, которое считается заданным:
x
n+1
=x
n
-(f(x
n
)-b)/f’(x
n
). (28)
В случае системы уравнений f’(x
n
)
следует понимать как матрицу, а
деление (f(x
n
)-b)/f’(x
n
)
как решение системы линейных уравнений.
Обозначим точное решение (27) через ξ и сравним невязки |ξ-x
n+1
|
и
|ξ-x
n
|. Из (28) следует, что
ξ
i
-x
n+1i
=ξ
i
-x
ni
+
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
∂f
j
∂x
i
-1
(f
j
(x
n
)-b
j
)=ξ
i
-x
ni
+
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
∂f
j
∂ξ
i
-1
+O(ξ-x
n
)(f
j
(x
n
)-f(ξ)
j
)=
=ξ
i
-x
ni
+
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
∂f
j
∂ξ
i
-1
+O(ξ-x
n
)
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
∂f
i
∂ξ
k
(x
nk
-ξ
k
)+O((x
nj
-ξ
j
)
2
) =O((x
n
-ξ)
2
)
или
|x
n+1
-ξ|≤M|x
n
-ξ|
2
Обозначая ε
n
=(M|x
n
-ξ|)
2
-n
, получим ε
n+1
≤ε
n
или ε
n
≤ε
0
, откуда
|x
n
-ξ|≤
1
M
(M|x
0
-ξ|)
2
n
(29)
Из (29) видно, что метод Ньютона очень быстро сходиться при
хорошем начальном приближении, когда M|x
0
-ξ|<1 (Л.В.Канторович).
Но при плохом начальном приближении метод может расходи
т
ься. При
решении системы уравнений (19)-
(
25) начальное приближение обычно
неизвестно или известно очень грубо, что не позволяет
использовать метод Ньютона в его стандартном виде.
Для обеспечения сходимости метод Ньютона должен быть
модифицирован. Заменим задачу (27) эквивалентной ей задачей на
поиск минимума min
x
|f(x)-
b
|. Минимум будем искать итерациями,
вдоль направления z=(f’(x
n
))
-1
(f(x
n
)-
). Другими словами, положи
x
n+1
=x
n
-λz, где λ>0 находится из условия min
λ
|f(x(λ))-
b
|. Разлагая
(f(x(λ))-b)
2
в ряд Тейлора по λ, получим, что 
последней из перечисленных              трудностей   -    сильной   нелинейности
системы уравнений.


5.Модифицированный метод Ньютона.

     Предположим,     что        нам   требуется   решить   нелинейную   систему
уравнений

f(x)=b,                                                              (27)

где левая часть f(x) является непрерывно дифференцируемой вектор-
функцией.   Метод  Ньютона    основан  на   уточнении  некоторого
начального приближения x0, которое считается заданным:


xn+1=xn-(f(xn)-b)/f’(xn).                                            (28)

В случае системы уравнений f’(xn) следует понимать как матрицу, а
деление (f(xn)-b)/f’(xn) как решение системы линейных уравнений.
Обозначим точное решение (27) через ξ и сравним невязки |ξ-xn+1| и
|ξ-xn|. Из (28) следует, что

                 ⎛∂fj⎞-1                  ⎛⎛∂fj⎞-1         ⎞
ξi-xn+1i=ξi-xni+⎜    ⎟ (fj(xn)-bj)=ξi-xni+⎜⎜     ⎟ +O(ξ-xn)⎟(fj(xn)-f(ξ)j)=
                 ⎝∂xi⎠                    ⎝⎝ ∂ξi ⎠         ⎠
        ⎛⎛∂fj⎞-1         ⎞⎛∂fi                       ⎞
=ξi-xni+⎜⎜ ⎟ +O(ξ-xn)⎟⎜ (xnk-ξk)+O((xnj-ξj)2)⎟=O((xn-ξ)2)
        ⎝⎝ ∂ξi ⎠         ⎠⎝ ∂ξk                      ⎠

или

|xn+1-ξ|≤M|xn-ξ|2
                            -n
Обозначая εn=(M|xn-ξ|)2 , получим εn+1≤εn или εn≤ε0, откуда

       1          n
|xn-ξ|≤M(M|x0-ξ|)2                                                   (29)

Из (29) видно, что метод Ньютона очень быстро сходиться при
хорошем начальном приближении, когда M|x0-ξ|<1 (Л.В.Канторович).
Но при плохом начальном приближении метод может расходиться. При
решении системы уравнений (19)-(25) начальное приближение обычно
неизвестно    или   известно  очень   грубо,  что   не  позволяет
использовать метод Ньютона в его стандартном виде.
      Для обеспечения сходимости метод Ньютона должен быть
модифицирован. Заменим задачу (27) эквивалентной ей задачей на
поиск минимума min|f(x)-b|. Минимум будем искать итерациями,
                   x
вдоль направления z=(f’(xn))-1(f(xn)-b). Другими словами, положим
xn+1=xn-λz, где λ>0 находится из условия min|f(x(λ))-b|. Разлагая
                                                      λ
(f(x(λ))-b) в ряд Тейлора по λ, получим, что
             2

Страницы