Экономические модели в теории инноваций. Попов А.И. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Поскольку
t
tI
t
tI
∂
−∂
−=
∂
−∂ )θ()θ(
, применяя правило дифференциро-вания по частям и учитывая то, что 0)θ(lim
θ
=
∞→
N ,
получим
∫
∞
−+=
0
θ)θ()θ()()0()( dNtItINtV
&&
. (12)
Упростить последнее выражение можно, лишь задавшись какой-либо конкретной функцией запаздывания N(θ). Они
бывают различных видов. Воспользуемся экспоненциальным, одним из самых распространенных:
θ
λ)θ(
λ−
= eN , (13)
где λ – константа.
Легко проверить, что функция запаздывания (13) удовлетворяет выдвинутым ранее условиям 1) и 2). Чем больше λ, тем бы-
стрее стремится к нулю N(θ), т.е. тем меньший эффект имеют ранее сделанные инвестиции во вводимых в данный момент произ-
водственных фондах. Иными словами, тем быстрее «забывает» капитальное строительство ранее сделанные вклады. При этом
площадь под кривыми для разных λ всегда равна 1 (см. рис. 3).
Подставив (13) в (12), получим
∫
∞
−−=
0
θ)θ()θ(λ)(λ)( dNtItItV
&
,
последнее слагаемое которого, в силу (10), равно λV(t). Таким образом, мы пришли к дифференциальному уравнению
)()()( tItVtV λ+λ−=
&
.
λ
2
<
λ
1
λ
1
θ
Рис. 3. Доля освоенных инвестиций: экспоненциальные функции
Окончательные уравнения динамики фондов односекторной экономики с учетом распределенного лага (13) в освоении
инвестиций
λ+λ−=
+µ−=
.)()()(
;)()()(
tItVtV
tVtKtK
&
&
(14)
Итак, мы пришли к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка. Это незамкнутая система: для того
чтобы определить, как будут вести себя основные фонды K(t) и вводимые фонды V(t), нужно, помимо начальных условий,
задать и функцию инвестиций I(t). С точки зрения классической теории управления, мы имеем дело с уравнениями управ-
ляемой системы
)()()( tButAxtx
+
=
&
,
где
=
−
−
==
=
0
λ
;
µ1
0λ
;)()(;
)(
)(
)( BAtItu
tK
tV
tx
.
Таким образом, если наши гипотезы верны, то мы получаем ценный инструмент моделирования экономики. С помо-
щью него можно стандартными методами теории автоматического управления решать, например, задачи определения мини-
мального количества инвестиций для вывода основных фондов в заданную точку или, наоборот, предсказания изменения
основных фондов при заданной программе капиталовложений.
Модель Леонтьева с запаздыванием
Если в дополнение к (12) считать верными еще несколько гипотез, то полученную выше систему уравнений можно
замкнуть, т.е. однозначно определять по начальному состоянию ее конечное состояние. Эти гипотезы связывают объем ос-
новных фондов и выпуск простейшей формулой
X (t) = f K(t) ,
где f – коэффициент фондоемкости.
Далее воспользуемся равенством валового выпуска сумме конечного продукта и производственного потребления X(t) =
W
a
(t) + Y(t), вспомним, что конечный продукт распределяется на инвестиции и конечное потребление Y(t) = C(t) + I(t), и при-
мем, что (подобные предположения делались в модели Леонтьева) производственное потребление пропорционально выпус-
ку W
a
(t) = aX(t).
Подставляя полученное выражение для инвестиций в систему дифференциальных уравнений (14), получаем
N(θ)
0
θ
λ
1
λ
2
<
λ
1

Страницы