Построение графиков функций. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§4. éÎÔÅÒ×ÁÌÙ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ É ÔÏÞËÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÆÕÎËÃÉÉ 19
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔØ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ
ÎÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ É ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÐÏ-
ÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ (ÚÄÅÓØ ÆÕÎËÃÉÑ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ) É ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÁ (ÚÄÅÓØ
ÆÕÎËÃÉÑ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÕÂÙ×ÁÅÔ).
ðÒÉÍÅÒ 1. ïÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÑ É ÕÂÙ×ÁÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ
y = x
2
e
−x
.
òÅÛÅÎÉÅ. îÁÊÄ¾Í ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ:
y
0
(x) = 2xe
−x
− x
2
e
−x
= e
−x
(2x − x
2
) = e
−x
x(2 − x).
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ÚÎÁËÏÐÏÓÔÏÑÎÓÔ×Á ÆÕÎËÃÉÉ y
0
(x) É ÚÎÁËÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄ-
ÎÏÊ ÎÁ ÜÔÉÈ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ:
−∞ < x < 0, y
0
(x) < 0, ÆÕÎËÃÉÑ ÕÂÙ×ÁÅÔ;
0 < x < 2, y
0
(x) > 0, ÆÕÎËÃÉÑ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ;
0 < x < +∞, y
0
(x) < 0, ÆÕÎËÃÉÑ ÕÂÙ×ÁÅÔ.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ (−∞; 0) É (2; +∞) ÆÕÎËÃÉÑ ÕÂÙ×ÁÅÔ, Á ÎÁ
ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (0; 2) ¡ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ.
4.3. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ (ÔÅÏÒÅÍÁ
æÅÒÍÁ)
îÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÅÏÒÅÍÏÊ
æÅÒÍÁ.
åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ y = f(x) × ÔÏÞËÅ x
0
ÉÍÅÅÔ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ, ÔÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ f
0
(x
0
)
ÌÉÂÏ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ, ÌÉÂÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ.
çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ × ÔÏÞËÅ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ËÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ Ë ÇÒÁ-
ÆÉËÕ ÆÕÎËÃÉÉ ÌÉÂÏ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÁ (ÌÅ×ÙÊ ÒÉÓÕÎÏË), ÌÉÂÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
(ÐÒÁ×ÙÊ ÒÉÓÕÎÏË).
§4. éÎÔÅÒ×ÁÌÙ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ É ÔÏÞËÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÆÕÎËÃÉÉ                    19

   ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔØ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ
ÎÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ É ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÐÏ-
ÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ (ÚÄÅÓØ ÆÕÎËÃÉÑ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ) É ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÁ (ÚÄÅÓØ
ÆÕÎËÃÉÑ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÕÂÙ×ÁÅÔ).
   ðÒÉÍÅÒ 1. ïÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÑ É ÕÂÙ×ÁÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ
y = x2e−x .
   òÅÛÅÎÉÅ. îÁÊÄ¾Í ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ:
            y 0 (x) = 2xe−x − x2 e−x = e−x (2x − x2) = e−x x(2 − x).
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ÚÎÁËÏÐÏÓÔÏÑÎÓÔ×Á ÆÕÎËÃÉÉ y 0 (x) É ÚÎÁËÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄ-
ÎÏÊ ÎÁ ÜÔÉÈ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ:
               −∞ < x < 0,      y 0 (x) < 0,   ÆÕÎËÃÉÑ ÕÂÙ×ÁÅÔ;
               0 < x < 2,   y 0 (x) > 0,   ÆÕÎËÃÉÑ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ;
               0 < x < +∞,      y 0 (x) < 0,   ÆÕÎËÃÉÑ ÕÂÙ×ÁÅÔ.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ (−∞; 0) É (2; +∞) ÆÕÎËÃÉÑ ÕÂÙ×ÁÅÔ, Á ÎÁ
ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (0; 2) ¡ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ.

4.3. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ (ÔÅÏÒÅÍÁ
     æÅÒÍÁ)

   îÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÅÏÒÅÍÏÊ
æÅÒÍÁ.
   åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ y = f (x) × ÔÏÞËÅ x0 ÉÍÅÅÔ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ, ÔÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ f 0(x0)
ÌÉÂÏ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ, ÌÉÂÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ.
   çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ × ÔÏÞËÅ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ËÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ Ë ÇÒÁ-
ÆÉËÕ ÆÕÎËÃÉÉ ÌÉÂÏ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÁ (ÌÅ×ÙÊ ÒÉÓÕÎÏË), ÌÉÂÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
(ÐÒÁ×ÙÊ ÒÉÓÕÎÏË).

Страницы