Высшая математика. Пучков Н.П. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Лекция 14
Теория вероятностей. Случайные величины
Определение 14.1. Величина называется случайной, если в результате испытания она примет лишь одно возможное
решение, заранее неизвестное и зависящее от случайных причин.
Обозначение – прописными буквами
...,,,, ΖΥΧ значения случайных величин – строчными:
...;...,,,;...,,,;...,,,
212121 kmn
zzzyyyxxx .
Различают два вида случайных величин.
Определение 14.2. Случайная величина, принимающая отдельные возможные значения с определенными вероятностя-
ми, называется дискретной случайной величиной (ДСВ).
Пример: Х – количество очков, выпадающих при подбрасывании игральной кости –
;6...,2,1
621
=
== xxx
Ζ
– число
попаданий в мишень при 5 выстрелах.
Определение 14.3. Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого
промежутка. Обозначение: НСВ.
Примеры: Х – дальность полета снаряда; Y – возможный вес яблока; Z – возможный рост человека.
Определение 14.4. Соответствие между отдельными возможными значениями ДСВ и их вероятностями называется за-
коном распределения ДСВ.
Задать ДСВ – перечислить ее возможные значения и указать их соответствующие вероятности, например, в виде табли-
цы
X
1
x
2
x
…
n
x
p
1
p
2
p
n
p
Так как в одном испытании случайная величина принимает только одно возможное значение, то события
n
xΧxΧxΧ === ...,,,
21
образуют полную группу попарно несовместных событий, поэтому сумма их вероятностей равна
1: 1...
21
=+++
n
ppp .
Пример 14.1. Из каждой сотни лотерейных билетов 50 – не имеют выигрыша, 25 имеют выигрыш 50 рублей, 15 – 150
рублей и 10 – 250 рублей. Записать закон распределения ДСВ X – стоимость выигравшего билета
X 0 50 150 250
p 0,5 0,25 0,15 0,1
Биномиальное распределение.
Пусть производится n независимых испытаний и в каждом из них событие
A
может появиться с одной и той же веро-
ятностью
p (не появиться с вероятностью )1 pq −= . В качестве ДСВ Х рассмотрим число появлений события
A
в этих n
испытаниях. Очевидно, что
nxxx
n
===
+121
...,,1,0 . Вероятности возможных ( k ) появлений в n испытаниях даются фор-
мулой Бернулли
,)(
knkk
nn
qpCkP
−
= а соответствующий закон распределения называется биномиальным, (так как
knkk
n
qpC
−
– общий член бинома Ньютона
n
qp )( + )
X
0 1 2 …
n
p
n
n
qpC
00
111 −n
n
qpC
222 −n
n
qpC
0
qpC
nn
n
Пример 14.2. Монета брошена 5 раз. Написать закон распределения ДСВ Х – числа появлений «герба».
Имеем:
32
1
2
1
2
1
2
1
5
5
5
5
55
⋅=
⋅=
⋅
⋅=
−
kk
kk
kk
CCCP .
1
!5!0
!5
5
5
0
5
=== CC ; 5
!4!1
!5
4
5
1
5
=== CC ; 10
!3!2
!5
3
5
2
5
=== CC , поэтому
X
0 1 2 3 4 5
p
32
1
32
5
32
10
32
10
32
5
32
1
Если n достаточно велико, а
p – достаточно мало, то вместо формулы Бернулли используют формулу Пуассона
!
)(
k
ekP
k
n
λ−
λ=
,

Страницы