Высшая математика. Пучков Н.П. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Определение 14.9. Функцией распределения Х называется функция )(xF , определяющая вероятность того, что Х при-
нимает значение, меньшее
x
.
)()( xХpxF <= .
Свойства
)(xF :
1.
1)(0 ≤≤ xF .
2. При
)()(
1212
xFxFxx ≥> .
3.
≥
≤
=
, если,1
; если,0
)(
bx
ax
xF
если все значения случайной величины принадлежат отрезку
],[ ba .
Следствия:
1.
)()()( α−
β
=
β
≤≤α FFХP .
2.
.0)(
1
== xХP
3. Если
+∞<<−∞
Х
, то
1)(lim;0)(lim
=
=
∞→−∞→
xFxF
xx
.
Определение 14.10. Производная от )(xF называется плотностью распределения вероятностей случайной величины Х:
)(')( xFxf = .
Таким образом,
)(xF является первообразной для )(xf и
∫
β
α
α−β==β≤≤α )()()()( FFdxxfХP
. В то же время
∫
∞−
=
x
dttfxF )()(
.
Свойства
)(xf :
1.
0)( >xf .
2.
∫
∞
∞−
=1)( dxxf ;
∫
=
b
a
dxxf 1)( , если все значения Х принадлежат отрезку ],[ ba .
Для НСВ:
[]
∫∫
−==
b
a
b
a
dxxfХMxХDdxxxfХM )()()(;)()(
2
или
[]
∫
−=
b
a
ХMdxxfxХD
2
2
)()()( ;
)()( ХDХ =σ
.
Пример 14.3. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х (м) – рост взрослого жителя города
N
задана функцией
>
≤≤+−⋅−
<
=
.2,0
;25,1),672(24
;5,1,0
)(
2
x
xxx
x
xf
Найти
)( ХM .
∫
=
+−⋅−=+−−=
2
5,1
2
5,1
234
2
2
6
3
7
4
224)672(24)(
xxx
dxxxxХM
75,1)25,24(3)375,38(
3
7
)0625,516(5,024 =
−⋅+−⋅−−⋅⋅−=
.
Таким образом, «средневзвешенный» рост взрослого жителя города N составляет 1,75 м.
()
[]
∫
=−+−⋅−=
2
5,1
222
)75,1(67224)( dxxxxХD
−−⋅⋅−=−
+−⋅= )59375,732(4,0(240625,3
3
6
4
7
5
2
24
2
5,1
345
xxx
,,, .0075,00625,3075,30625,3))37538(2)0625516(751
=
−
=−−⋅+−⋅−
087,0)()( ≅=σ ХDХ .
Среднеквадратическое отклонение составляет около 9 см.

Страницы