Высшая математика. Пучков Н.П. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Определение 15.3. Нормальное распределение с параметрами 0
=
a и 1
=
σ
называется нормированным; его плотность
2
2
2
1
)(
x
exf
−
π
=
,
∫∫
∞−∞−
−
π
==
xx
z
dzedzzfxF
2
2
2
1
)()(
.
На практике для нахождения
)(xF используется функция Лапласа
∫
−
π
=Φ
x
z
dzex
0
2
2
2
1
)(
, для которой составлены таблицы.
Определение 15.4. Модой )(
0
ХM называется возможное значение случайной величины Х, при котором плотность рас-
пределения имеет максимум.
Определение 15.5. Медианой )(
0
ХM называется такое возможное значение случайной величины Х, что вертикальная
прямая
)(
0
ХMx = делит пополам площадь, ограниченную кривой плотности распределения. Очевидно, что для нормально-
го распределения
aХM =)(
0
.
В экономике наиболее часто, кроме рассмотренных выше равномерного и нормального распределений, используются
распределение χ
2
Пирсона, распределения Стьюдента, Фишера.
Закон больших чисел.
Хотя поведение одной случайной величины описать достаточно сложно, поведение совокупности случайных величин
может иметь вполне определенный (описываемый каким-либо законом) характер.
Теорема П.Л. Чебышева. Если последовательность попарно-независимых случайных величин
n
ХХХ ...,,,
21
имеет ко-
нечные
)( ХM и дисперсии этих величин равномерно ограничены (например, одним и тем же числом С), то среднее арифме-
тическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий
1)(
11
lim
11
=
ε<−
∑∑
==
∞→
n
i
n
i
ii
n
ХM
n
Х
n
p .
Смысл: среднее арифметическое значений случайных величин (когда их много) – величина неслучайная.
Правило 3-х сигм: если Х распределено нормально, то
(
)
13||
≅
σ
<
−
aХP .
Смысл. Если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, то с практической достоверностью
можно считать, что все значения этой случайной величины расположены в интервале
[
]
σ
+
σ
−
3,3 aa .
Теорема Ляпунова. (центральная предельная теорема). Если случайная величина Х есть сумма достаточно большого
числа взаимно-независимых случайных величин, влияние каждой из которых на сумму ничтожно мало, то Х имеет распреде-
ление, близкое к нормальному.

Страницы