Нелинейная теория упругости как физическая теория поля. Радаев Ю.Н - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

2. Элементы теории поля
Ниже будут даны необходимые сведения (преимущественно формаль-
ного плана) из современной теории поля. Для понимания излагаемой ниже
теории необходимо достаточно свободное владение исчислением вариаций
(например, в рамках замечательного курса вариационного исчисления
[14]). Компактное изложение имеется в [12, рp. 260–264]. Можно рекомен-
довать также монографию [2, рp. 96–115].
Рассмотрим функционал типа Гамильтонова действия:
, (2.1)
β
βγβ
ϕϕ ϕ
×
ℑ= ∂ ∂∂
∫
12
4
[,]
( , , ,..., )
kk k
tt
XdX
D
L
где — упорядоченный массив физических полевых величин; (
β
=
ϕ
k
β
X
1,2,3,4) — пространственно-временные координаты;
4
(константа
=
4
Xct
c
имеет смысл характерной скорости и ее можно положить равной едини-
це); — элемент объема; — область трехмерного пространства,
4
dX
D
5
в
которой изменяются координаты ; — границы временного
1
,X
2
,X
3
X
12
,tt
интервала.
Под мы понимаем ”естественный” элемент объема
4
dX
.
4 1234
d X dX dX dX dX=
Поэтому — ”естественная” плотность лагранжиана. Лагранжиан
L
предполагается локальным, т.е. его значение в точке определяется зна-
β
X
чениями динамических переменных и конечного числа их частных
ϕ
k
производных по пространственно-временным координатам, вычисленных
в той же самой точке.
Инвариантный элемент объема пространственно-временного мно-
τ
4
d
гообразия, параметризованного координатами , определяется на осно-
β
X
вании
τ =
412
d g dX dX dX dX

34
,
4
Аналогия между пространством и временем была известна еще древним грекам.
Аристотель включал время в число непрерывных величин наряду с линиями, поверхно-
стями и телами. В современной физике равноправие пространственных координат и
времени утверждалось в процессе становления теории относительности. Пространст-
венно-временное многообразие — неотъемлемый элемент теории относительности.
Геометрия пространства–времени как объект физической теории рассматривается, на-
пример, в [22, рp. 457–472]. С точки зрения классической механики сплошных сред пе-
ременные вполне аналогичны координатам Лагранжа, а оперирование с че-
тырехмерным пространственно–временным многообразием исключительно удобно при
описании динамических процессов в деформируемых средах.
1
,X
2
,X
3
X
10
5
В рамках классической нелинейной механики сплошных сред следует считать, что
( — отсчетная конфигурация тела, деформацию которого обычно описывают, сравнивая
отсчетную конфигурацию с актуальной деформированной), либо
D
— подобласть .
R
=DK
R
K
R
K

Страницы