Нелинейная теория упругости как физическая теория поля. Радаев Ю.Н - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

В пространстве Минковского может быть с помощью замены
ββ
→XX
введена криволинейная координатная система; метрика в этом
случае определяется как
.
αβ
αβ
=
2
ds g dX dX

Через здесь и в дальнейшем обозначается оператор частного диф-
β
∂
ференцирования по пространственно-временным координатам . Мы
β
X
будем использовать этот оператор (вместо более удобной наблы Гамиль-
тона ) с тем, чтобы изложение было выдержано в духе классического
β
∇
вариационного исчисления. Впрочем, все уравнения исчисления вариаций
без труда представляются в прямой инвариантной записи, что позволяет
сформулировать их в форме, инвариантной относительно преобразований
пространственно-временных координат . Прямая тензорная запись
β
X
уравнений поля часто оказывается неудобной, так как она скрывает приро-
ду тензоров: при построении канонических тензоров теории поля заимст-
вуются элементы как пространства–времени (греческий индекс), так и са-
мих физических полей (латинский индекс).
Большинство современных физических теорий ограничивается гради-
ентами первого порядка от полей
ϕ
.
k
Для классической механики сплошных сред физические поля —
ϕ
k
это закон движения (или деформирования) тела, представленный как зави-
симости координат Эйлера (т.е. координат в пространстве, которые выби-
раются наблюдателем для представления положений точек сплошной сре-
ды в процессе ее деформации) от координат Лагранжа (координаты Ла-
гранжа, согласно традиционным представлениям механики сплошных
сред, индивидуализируют точки континуума, являясь для каждой из них
уникальной меткой):
=
1234
(, , , )
kk
xxXXXX.
Таким образом, в дальнейшем можно считать, что есть эйлеровы
ϕ
k
координаты:
ϕ
.
=
kk
x
В принципе деформацию сплошного тела можно описывать обратным
отображением (так называемое обратное лагранжево описание):
ββ
=
123
(, , ,)XXxxxt
.
Тогда роль физических полевых величин будут играть переменные
Лагранжа. Ни одно из описаний — прямое лагранжево и обратное лагран-
жево — не имеет никаких преимуществ по сравнению с другим. Историче-
ски сложилось так, что широкое распространение получило лишь прямое
описание. И только в последнее время обратное описание стало проникать
в работы по нелинейной теории упругости (см., например, монографию
[2]).
Отправным пунктом для математического описания физических полей
служит принцип Гамильтона (или принцип наименьшего действия), кото-
12

Страницы