Нелинейная теория упругости как физическая теория поля. Радаев Ю.Н - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

где — определитель (точнее, его абсолютная величина), составленный
g
из метрических коэффициентов . Поскольку метрика пространства–
αβ
g
времени гиперболична то обычно вместо
g
пишут
−g
ибо последнем
случае величина под корнем будет положительной.
6
Итак, инвариант
−
123
gdX dX dX dX

4
— величина четырехмерного
объема, измеренного в локальной координатной системе посредством
твердых масштабов и часов по принципам специальной теории относи-
тельности. Инвариантный элемент объема следует отличать от ”естествен-
ного” элемента объема , так как координатная сис-
=
4 123
d X dX dX dX dX

4
тема пространственно–временного многообразия может быть криволиней-
ной, и в этом случае величина
−g
отлична от единицы.
При использовании криволинейной координатной системы в про-
странственно–временном многообразии функционал действия следует пи-
сать в форме
β
βγβ
ϕϕ ϕ
×
ℑ= ∂ ∂∂ −
∫
12
4
[,]
( , , ,..., )
kk k
tt
Xgd
D
L X
.
Ясно поэтому, что часто характер координатной системы можно во-
обще не специфицировать, но тогда в уравнениях поля под функцией Ла-
гранжа следует понимать не , а
L
−gL
, что и будет предполагаться в
дальнейшем изложении и мы, таким образом, возвращаемся к выражению
действия в форме (2.1). Следует однако помнить, что в этом случае бу-
L
дет не плотностью по отношению к инвариантному элементу объема про-
странственно-временного многообразия, но будет таковой по отношению к
”естественному” элементу объема. Как уже отмечалось величину можно
L
поэтому называть ”естественной” плотностью лагранжиана.
Пространство–время является четырехмерным псевдоевклидовым
пространством,
7
метрика которого задается знаконеопределенной квадра-
тичной формой
,
β
β
ε=
22
(ds dX )
β =( 1,2,3,4)
где
, ,
ε
, .
ε =
1
1 ε =
2
1 =
3
1 ε =−
4
1
Определенное подобным образом 4-пространство обычно называют
пространством Минковского (Н. Minkowski).
6
Часто для краткости применяется также обозначение .
11
7
Геометрия псевдоевклидовых пространств и пространственно-временного многообра-
зия в деталях изложена в книге: Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. М.: Наука,
1966. 648 с.

Страницы