ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
γβ
ε
ϕε
δϕ ε
ε
=
⎛⎞
∂Φ
⎟
⎜
=
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
∂
⎝⎠
0
(( ), ,)
ks
k
XX
.
Поскольку дифференцирования по пространственно-временным коор-
динатам и параметру перестановочны, операторы и
ε
β
∂
δ
также пере-
становочны:
ββ
δδ∂=∂
.
Вариациям физических полей , исчезающим как на границе про-
ϕ
k
странственной области интегрирования так и на границах временного ин-
тервала, отвечает вариация действия
β
β
δδϕ δϕ
ϕϕ
⎧⎫
⎪⎪
∂∂
⎪⎪
ℑ= + ∂
⎨⎬
⎪⎪
∂∂∂
⎪⎪
⎩⎭
∫
4
()
()
kk
kk
dX
LL
,
или
β
β
δ
ϕϕ
⎧⎫
⎪⎪
∂∂
⎪⎪
ℑ= −∂
⎨⎬
⎪⎪
∂∂∂
⎪⎪
⎩⎭
∫
4
()
k
kk
dX
LL
δϕ. (2.7)
Стационарность действия необходимо влечет уравнения Эйлера–
Лагранжа (уравнения поля):
β
β
δ
δϕ ϕ ϕ
∂∂
≡−∂ =
∂∂∂
0
()
kk k
LL L
.
(2.8)
Обобщение уравнений Эйлера–Лагранжа на тот случай, когда плот-
ность лагранжиана зависит от производных, порядка выше первого, есть:
9
βγβ
βγβ
δ
δϕ ϕ ϕ ϕ
∂∂ ∂
≡−∂ +∂∂ −=
∂∂∂ ∂∂∂
... 0
() ( )
kk k k
LL L L
. (2.9)
Оператор, определенный согласно (2.9), называется оператором Эйле-
ра (или вариационной производной). Вариационная производная есть 1-
ковариантный пространственный вектор.
Уравнения Эйлера–Лагранжа инвариантны относительно группы пре-
образований (2.3). Действительно, прямой расчет показывает, что
β
α
δδ
δϕ δϕ
⎛⎞
∂
⎟
⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
∂
⎝⎠
det
kk
X
X
LL
.
Полные вариации пространственно-временных координат и физи-
β
X
ческих полей при их преобразовании согласно (2.2) определены, как
ϕ
k
это следует ниже:
15
9
Мы не будем развивать далее теорию поля для лагранжиана, зависящего от гради-
ентов полевых величин , порядка выше первого. По поводу соответствующего
k
ϕ
обобщения см., например, [2, рp. 116, 117].
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- …
- следующая ›
- последняя »
