Нелинейная теория упругости как физическая теория поля. Радаев Ю.Н - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

(
)
()
()
β
β
β
β
δδϕ δϕδ
ϕ
ϕ
⎧⎫
⎪⎪
∂∂ ∂
⎪⎪
ℑ= + ∂ + =
⎨⎬
⎪⎪
∂∂
∂∂
⎪⎪
⎩⎭
∫
4kk
k
k
XdX
X
LL
L
17
()
4k
k
k
dX
β
β
δϕ
ϕ
ϕ
⎧⎫
⎪⎪
∂∂
⎪⎪
=−∂
⎨⎬
⎪⎪
∂
∂∂
⎪⎪
⎩⎭
∫
LL
+
(
)
β
β
β
δϕ δ
ϕ
∂
⎧⎫
⎪⎪
∂
⎪⎪
+
⎨⎬
⎪⎪
∂∂
⎪⎪
⎩⎭
∫
k
k
XNdA
v
L
L
, (2.12)
где — единичная внешняя нормаль к трехмерной гиперповерхности,
β
N
ограничивающей область интегрирования в четырехмерном пространст-
венно-временном многообразии, — элемент площади указанной ги-
dA
перповерхности.
Если функционал инвариантен
ℑ
10
относительно группы преобразо-
ваний (2.2), то его первая вариация, соответствующая варьированию коор-
динат и полей по закону (2.2), очевидно, будет равна нулю.
Условие (2.11) инфинитезимальной инвариантности функционала
действия относительно группы преобразований (2.2) может быть заменено
более слабым условием (см. Bessel-Hagen E. Uber die Erhaultungssatze der
Elektrodynamik // Math. Ann. 1921. V. 84. P. 258-276)
γγ
γ
δ
δ
∂∂
+=
∂∂
X
XX
LL
γ
ε
B
β
(2.13)
так, чтобы первая вариация действия, по-прежнему, обращалась в нуль.
Здесь 1-контравариантный отсчетный вектор может зависеть от про-
странственно-временных координат и полей (включая и градиенты поля):
γ
B
.
γγ κ
βγβ
ϕϕ ϕ=∂∂∂( , , ,..., )
kk
BB X
Формула (2.12) остается справедливой и для более широкого класса
преобразований, в которые пространственно-временные координаты и
физические поля
ϕ
входят совершенно симметрично:
β
X
k
, ,
()
ββ γ
ϕε= ,,
s
XX
X
()
()
(
βγ
ϕε ϕ=Φ,
kks
XX
)
β
ε,,X
где по-прежнему
(
)
βγ β
ε
ϕε
=
=
0
,,
s
XX
(
X
,
)
β
ε
ϕε ϕ
=0
,,
ks k
X
Φ=
.
Инвариантность функционала действия относительно обобщенных
преобразований исследуется ниже, в разделе 5.
3. Теорема Нетер
Теорема Нетер (по поводу доказательства см. [14, рp. 176–178]) уста-
навливает закон сохранения, соответствующий однопараметрической
группе преобразований, не изменяющих величину действия (или изме-
няющих таковую, но на бесконечно малую величину, порядка высшего,
10
Или, делая тем самым более общее предположение, — инфинитезимально инвари-
антен.

Страницы