Нелинейная теория упругости как физическая теория поля. Радаев Ю.Н - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

должны удовлетворяться и, следовательно, вариацию действия (2.12) мож-
но вычислить в виде
(
)
β
β
β
δδϕδ
ϕ
∂
⎧⎫
⎪⎪
∂
⎪⎪
ℑ= +
⎨⎬
⎪⎪
∂∂
⎪⎪
⎩⎭
∫
k
k
XNdA
v
L
L
,
или, учитывая связь (2.10) между частичной и полной вариацией поля
, —
ϕ
k
(
)
αβ
β
α
β
ϕ
δδϕδδ
ϕ
∂
⎧⎫
⎪⎪
⎛⎞
∂∂
⎪⎪
⎟
⎜
ℑ= − +
⎟
⎨⎬
⎜
⎟
⎟
⎜
⎪⎪
∂
∂∂
⎝⎠
⎪⎪
⎩⎭
∫
k
k
k
XXN
X
v
L
L
dA
. (3.1)
Вводя четырехмерный вектор
(
)
β
α
β
ϕ
δϕ δ δ
ε
ϕ
⎧⎫
⎪⎪
⎛⎞
∂∂
⎪⎪
⎟
⎜
=−+
⎟
⎨⎬
⎜
⎟
⎟
⎜
⎪⎪
∂
∂∂
⎝⎠
⎪⎪
⎩⎭
1
k
k
k
J
X
L
L
αβ
XX
, (3.2)
вариацию действия можно также представить в форме
β
β
δ
∂
ℑ=
∫
JNdA
v
. (3.3)
Не составляет труда получить для вектора вместо (3.2) следующее
выражение:
β
J
() ()
ββ
αα
ββ
δϕ δ ϕ δ
ε
ϕϕ
⎧⎫
⎛⎞
⎪⎪
∂∂
⎟
⎪⎪
⎜
⎪⎪
⎟
⎜
=+−∂
⎨⎬
⎟
⎜
⎟
⎪⎪
⎜
∂∂ ∂∂
⎟
⎜
⎝⎠
⎪⎪
⎪⎪
⎩⎭
1
()
kk
kk
JX
LL
L
α
.
Воспользуемся теперь предположением об инвариантности действия
относительно однопараметрической группы преобразований (2.2)
13
(
)
(
)
ββ
ϕϕ→,,
kk
XX
.
Ясно, что
δℑ=0
и соответствующий закон сохранения имеет следующую четырехмерную
дивергентную форму:
. (3.4)
β
β
∂=0J
Теорема Нетер в принципе не может дать более общего закона сохра-
нения, чем (3.4), где четырехмерный вектор удобно представить в фор-
ме
β
J
{}
ββ β
α
δϕ δ
ε
⋅⋅
⋅⋅
−= +
1
k
k
JS PX
α
,
19
13
Достаточно, однако, предположить, что действие не изменяет своей величины с
точностью до малых, порядка высшего чем . ε

Страницы