Нелинейная теория упругости как физическая теория поля. Радаев Ю.Н - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

(
)
ββ β
γ
ϕϕ
ϕ
ϕ
∂∂∂ ∂∂∂
=+
∂∂∂ ∂∂
∂∂
js
j
s
XX X
LL L
γ
X
и, заменяя в этом уравнении производную лагранжиана по физической по-
левой величине согласно уравнениям Эйлера–Лагранжа
()
γ
γ
ϕ
ϕ
∂∂∂
=
∂∂
∂∂
j
j
X
LL
,
приходим к уравнению
(
)
βγβ
γ
ϕ
ϕ
⎛⎞
⎛⎞
∂∂∂∂
⎟
⎜
⎟
⎜⎟
⎜
=
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
∂∂∂⎝⎠
∂∂
⎟
⎜
⎝⎠
j
j
XXX
LL
,
откуда немедленно получаем
()
γ
ββ
γ
γ
δϕ
ϕ
⎛⎞
∂∂
⎟
⎜
⎟
⎜
−∂ =
⎟
⎜
⎟
⎜
∂
∂∂
⎟
⎜
⎝⎠
()
j
j
X
L
L
0
β
⋅
0
.
Заметим, что тензор не симметричен, однако само его выражение
(4.2), обеспечивающее выполнение закона сохранения (4.3), не уникально:
трансформируя тензор по формуле
β
α
⋅
⋅
T
β
α
⋅
⋅
T
,
βγ
αγα
⋅⋅
⋅⋅
′
+∂
TT
где тензор антисимметричен при перестановке контравариантных ин-
дексов
γβ
α
⋅
⋅⋅
′
T
,
γβ βγ
αα
⋅⋅
⋅⋅ ⋅⋅
′′
=−TT
также получаем закон сохранения
.
βγβ
βα γα
⋅⋅
⋅⋅⋅
′
∂+∂ =()
TT
Указанную трансформацию тензора можно использовать для по-
строения симметричного тензора, для которого будет справедлив закон со-
хранения вида (4.3).
β
α
⋅
⋅
T
Если плотность лагранжиана зависит явно от пространственно-
временных координат , то свойство инвариантности потока 4-вектора
β
X
()
β
α
J
нарушается:
β
βα
α
⋅
⋅
⎛⎞
∂
⎟
⎜
∂=
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
∂
expl
T
X
L
. (4.4)
Для доказательства достаточно заметить, что, с одной стороны,
()
β
βα
δεℑ= ∂
∫
4
JdX
, (4.5)
а с другой — непосредственное вычисление вариации действия приводит к
α
δε
⎛⎞
∂
⎟
⎜
ℑ=
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
∂
∫
4
expl
dX
X
L
, (4.6)
Сравнивая (4.5) и (4.6), приходим к (4.4).
22

Страницы