Нелинейная теория упругости как физическая теория поля. Радаев Ю.Н - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Компоненты канонического 4-тензора имеют размерность плотно-
β
α
⋅
⋅
T
сти энергии.
15
Тензор часто называют тензором энергии–импульса
β
α
⋅
⋅
T
(см., например, [1, с. 105–109, 345–349]), поскольку канонические уравне-
ния механики сплошных сред (1.23) и (1.22), выражающие баланс энергии
(
α
= 4) и импульса, являются непосредственным следствием каноническо-
го закона сохранения (4.4):
⎛⎞ ⎛⎞
∂
⎟
⎜
⋅=−
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠ ⎝⎠
∂∂
R
expl
tt
X
H
−∇ Γ
∂
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
L
, (4.7)
⎛⎞
∂
⎟
⎜
−⋅=
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
∂
inh
R
t
X
Pf∇
P
, (4.8)
где
, . =⋅SvΓ
()
=− + ⋅PISL F
Действительно, чтобы, например, вывести уравнение (4.8), заметим
сначала, что три первых уравнения (4.4) можно представить как
β
αβα
α
⋅⋅
⋅⋅
⎛⎞
∂
⎟
⎜
∂−∂ =
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
∂
4
4
expl
TP
X
L
()
, αβ=,1,2,3
где — тензор напряжений Эшелби, определен-
ββ
αα
⋅⋅
⋅⋅
=−PT
(
αβ=,1,2,
)
3
ный согласно (1.25). Затем преобразуем последнее уравнение к виду
(
)
β
αβα
ρ
⋅
⋅
−∂ ∂ −∂ =
inh
R
k
tk
vx P f
α
3
()
, αβ=,1,2,
обозначая при этом
,
ϕ=∂
4
kk
v
и на основании определения (1.30)
α
α
⎛⎞
∂
⎟
⎜
=
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
∂
inh
expl
f
X
L
()
. α = 1, 2, 3
Принимая во внимание далее, что (см. уравнение (1.24))
, (4.9)
α
ρ−= ∂
R
k
k
vP
α
ϕ
приходим к каноническому уравнению баланса импульса
()
.
β
αβα α
⋅
⋅
∂−∂ =
inh
t
PfP
αβ=,1,2,3
Уравнение (4.9) ясно указывает на то, что канонический импульс — 1-
ковариантный отсчетный вектор. Это уравнение можно также представить
в виде
,
αα
ρ=
R
vP
где
αα
ϕ=− ∂
k
k
vv
23
15
Обратим внимание читателя на тот факт, что, согласно каноническому определе-
нию тензора энергии–импульса, его естественное координатное представление — 1-
контравариантное и 1-ковариантное.

Страницы