Нелинейная теория упругости как физическая теория поля. Радаев Ю.Н - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Соответствующий группе бесконечно малых вращений пространства–
времени закон сохранения есть
. (4.16)
β
βγα
⋅⋅
∂=
.
0M
Группа Лоренца может действовать также и на физические поля
ϕ
:
k
, (4.17)
()
() (
γγ αβ
βα
αβ
ϕϕ ωϕ
⋅⋅ ⋅
⋅⋅⋅
≠
=+
∑
,
,
,
kk ks
s
s
XX S
)
γ
X
где тензор четвертого ранга преобразует антисимметричные тензоры
α
β
⋅⋅
⋅⋅
,
,
k
s
S
второго ранга снова в антисимметричные.
Вычисляя вариации
ϕ
, получаем
k
.
()
αβ γ
βα
αβ
δϕ ω ϕ
⋅⋅ ⋅
⋅⋅⋅
≠
=
∑
,
,
,
kks
s
s
SX
В этом случае 4-вектор находится в виде
β
J
()
(
)
βγα
μβ λβ
γμ α αλ γ γα
β
ϕ
ϕ
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
∂
−= − −
∂∂
∑
,
,
,
ks
s
k
ks
JgXTgXT S
L
. (4.18)
Величины (4.14) и в этом случае образуют тензор третьего ранга, ан-
тисимметричный по индексам . Соответствующий закон сохранения γα,
имеет форму, аналогичную (4.16).
5. Обобщенные группы преобразований.
Стандартные, внутренние и внешние вариации
Как было отмечено выше, пространственно-временные координаты и
физические поля входят в группу преобразований
(
)
(
)
ββ
ϕϕ→,,
kk
XX
несимметрично.
С целью восстановления симметрии расширим определение однопа-
раметрической группы, допуская преобразования вида:
, , (5.1)
()
ββ γ
ϕε= ,,
s
XX
X
()
()
(
βγ
ϕε ϕ=Φ,
kks
XX
)
β
ε,,X
где по-прежнему
26
(
)
βγ β
ε
=
=
0
XX
X
(
)
β
ε
ϕε ϕ
=0
,,
ks k
X
ϕε,,
s
,
Φ=
.
Здесь пространственно-временные координаты и физические поля
β
X
ϕ
s
уже симметрично входят в закон преобразования.
16
16
Можно построить математическое представление упругого поля с помощью так на-
зываемого обратного описания деформации тела, развитого в работах Маженна
(G.A. Maugin), которые подытожены в монографии [2] (см. также обзорную статью
[23]). Обратное описание деформации сплошной среды и соответствующая вариаци-
онная формулировка нелинейной теории упругости (когда действие для упругого те-
ла представлено на основе эйлерова описания и варьированию подвергается обрат-

Страницы