Нелинейная теория упругости как физическая теория поля. Радаев Ю.Н - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Частичные вариации пространственно-временных координат и
β
X
физических полей принято в этом случае называть внешними частич-
ϕ
s
ными вариациями:
ββ
δδ==0XX
,
(
)
δϕ δϕ εω ϕ== ,
kkks
t
.
Введем обозначения и будем трактовать по анало-
ϕ=
4
,
kk
xx=t
k
x
гии с переменными Эйлера (пространственно-временные координаты
β
X
— переменные Лагранжа).
Для внешней частичной вариации, выраженной через переменные Эй-
лера, зарезервируем обозначение:
. (5.9)
(
ϕεωΔ=
4
,
kks
xx
)
Подсчитывая вариацию действия, находим
21
()
(
)
β
β
δδϕX
ϕ
ϕ
⋅
⋅
⎛⎞
∂∂
⎟
⎜
⎟
⎜
ℑ= + ∂ −∂
⎟
⎜
⎟
⎜
∂
∂∂
⎟
⎝⎠
∫
4
4
4
k
k
k
k
Sd
LL
(
)
β = 1, 2, 3 ,
или
()
()
()
β
β
δε ωϕ
ϕ
ϕ
⋅
⋅
⎛⎞
∂∂
⎟
⎜
⎟
⎜
ℑ= + ∂ −∂ =
⎟
⎜
⎟
⎜
∂
∂∂
⎟
⎝⎠
∫
4
,
ks
kt
k
k
t
S
LL
tdX
()
()
()
εω
ϕ
−⋅−
⋅
⎛⎞
∂∂
⎟
⎜
⎟
⎜
=+∂−∂
⎟
⎜
⎟
⎜
∂
∂∂
⎟
⎝⎠
∫
11
4
4
,
lks
lk
k
k
JTJ xxd
x
LL
=
44
x
(5.10)
()
(
)
ϕ
ϕ
−⋅−
⋅
⎛⎞
∂∂
⎟
⎜
⎟
⎜
=+∂−∂Δ
⎟
⎜
⎟
⎜
∂
∂∂
⎟
⎝⎠
∫
11
4
4
lk
lk
k
k
JTJ
x
LL
4
dX
,
(;
β = 1, 2, 3
)
=,, 1,2,3lks
где J — якобиан преобразования от переменных Лагранжа к переменным
Эйлера
(
)
β
=∂det
s
Jx
(
)
β = 1, 2, 3 ,
(
)
(
)
(
)
β
ββ
β
ϕϕ
ϕ
⋅− ⋅ −
⋅⋅
∂
=∂ =−∂
∂∂
11ll l
kk
k
TJ S J
L
(
)
β = 1, 2, 3 . (5.11)
Таким образом может быть найдено каноническое определение еще
одного тензора — . Ниже будет показано, что 1-контравариантный и 1-
⋅
⋅
l
k
T
)
)
32
21
В приводимых ниже формулах следует различать операторы и : первый обо-
значает дифференцирование по пространственно-временным координатам
, второй — по эйлеровой координате . Греческий индекс все-
гда ассоциируется с пространственно-временными координатами и отсчетным пред-
ставлением векторных и тензорных полей, латинский — с эйлеровыми координатами
и актуальным (пространственным) представлением.
β
∂
l
∂
X
β
(
1, 2, 3β =
l
x
(
1, 2, 3l =

Страницы