ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
,
ℑ=ℑ
то такая группа, как указывалось выше, называется обобщенной группой
инвариантности действия (или вариационной симметрией действия).
24
Обобщенная инвариантность функционала действия означает, что
(
)
[]
(
)
ββ
ββ
ϕϕ ϕϕ
⎡⎤
×
×
⎣
⎦
∂=∂
∫∫
12
12
44
,
,
,, ,,
kk kk
tt
tt
XdX XdX
D
D
LL
,
где преобразование пространственно-временных координат оп-
ββ
→XX
ределено неявно уравнением
(
)
(
)
(
)
ββ γβ γ
ϕε=Φ ,,,,
sk
XXX
X εX
.
Покажем, что каждая обобщенная группа инвариантности действия
позволяет при условии выполнения уравнений Эйлера–Лагранжа
()
β
β
ϕ
⋅
⋅
∂
+∂ =
∂
0
k
k
S
L
,
()
α
αβ
β
⋅
⋅
⎛⎞
∂
⎟
⎜
+∂ =
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
∂
expl
0P
X
L
(6.1)
сформулировать нетривиальный закон сохранения
, (6.2)
β
β
∂=0I
где
(
)
ββ β
γ
δϕ δ
ε
⋅⋅
⋅⋅
=+
1
k
k
IS PX
γ
. (6.3)
Действительно, варьируя действие, находим
35
(
)
()
ββ
ββ
β
β
δ
δδϕ δϕ δϕδ
ϕδϕ
ϕ
⎧
⎪
⎛⎞
∂∂ ∂
⎪
⎟
⎜
ℑ= + ∂ + + ∂ +
⎨
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
⎪
∂∂
∂∂
⎪
⎩
∫
expl
()
kk k
k k
k
XX
X
LL L L
()
()
()
()
()
βα β
γβ β β α
α
γ
ϕδδϕ δ
ϕ
ϕ
⎫
⎛⎞
⎛⎞
⎪
∂∂
⎟
⎟
⎜
⎪
⎜
⎪
⎟
⎟
⎜
⎜
+∂ ∂ + − ∂ ∂ =
⎬
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎪
⎜
⎜
∂∂
∂∂
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
⎝⎠
⎪
⎪
⎭
4kk
k
k
XXdX
LL
L
()
()
ββαβ
ββα
β
δϕ δϕ δ δ
ϕ
⋅⋅
⋅⋅
⎧
⎪
⎛⎞
∂∂
⎪
⎟
⎜
=−∂+ −∂+
⎨
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠⎪
∂∂
⎪
⎩
∫
expl
kk
k
k
SXPX
X
LL
()
()
ββ
βγβ
γ
δ
ϕδ ϕ δ
δϕ
ϕ
⎫
⎛⎞
⎪
∂
⎟
⎪
⎜
⎪
⎟
⎜
+∂ +∂ ∂ =
⎬
⎟
⎜
⎟
⎪
⎜
∂∂
⎟
⎜
⎝⎠
⎪
⎪
⎭
4
()
kk
k
k
XX
LL
0dX
.
В силу произвольности 4-области интегрирования необходимо
(
)
(
)
(
)
βγβ β
βγβ β
δ
ϕ δ ϕ δ δϕ δϕ
δϕ ϕ
⋅⋅
⋅⋅
∂
∂+∂∂+−∂
∂
()
kkk
kk
kk
XSX S
LL
+
k
(6.4)
24
Достаточно, как всегда, предположить, что изменение действия имеет порядок более
высокий, чем ε :
. ()o εℑ−ℑ=
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
