Нелинейная теория упругости как физическая теория поля. Радаев Ю.Н - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

()
βα β
βα
β
δδ
⋅
⋅
⎛⎞
∂
⎟
⎜
+−∂
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
∂
expl
0XP X
X
L
=
.
Учитывая, что
β
β
δϕ δϕ ϕ δ=+∂()
kk k
X
,
(
)
(
)
(
)
(
)
kkk
kk
SS
ββ
ββ
δϕ δϕ δϕ
⋅⋅
⋅⋅
∂=∂ −∂
k
S
β
β
⋅
⋅
,
,
()
()
()
()
αβ αβ β
βα α β αβ
δδδ
⋅⋅
⋅⋅
∂=∂ −∂PX PX XP
α⋅
⋅
уравнение (6.4) представим в виде
36
() ()
()
(
)
βαβββγ
βαββγ
β
βγ
βγ
δϕ δ δϕ δ
ϕ
ϕδ
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅
⋅
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
∂∂
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
+∂ + +∂ −∂ + −
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝⎠
⎜
∂∂
⎝⎠
⎝⎠
−∂ ∂ =
expl
() 0.
kk
kk
k
k
k
SPXSPX
X
SX
LL
Таким образом, если уравнения Эйлера–Лагранжа удовлетворяются,
то можно сформулировать дивергентный закон сохранения
(
)
ββγ
βγ
δϕ δ
⋅⋅
⋅⋅
∂+ 0
k
k
SPX=
. (6.5)
Полученный результат
25
ясно показывает, что тензор напряжений
Пиола–Кирхгофа и тензор напряжений Эшелби — основные конструктив-
ные элементы, необходимые для построения обобщенных законов сохра-
нения.
Следует также отметить, что можно еще более расширить класс одно-
параметрических преобразований, допуская их зависимость также и от
градиентов первого порядка (или более высоких порядков) физических по-
левых величин
ϕ
:
k
, .
()
ββ γ
α
ϕϕ ε=∂,,,
sk
XX
X
()
γ
α
ϕϕϕ=Φ ∂,,,
llsk
X
ε
Соответствующая теория приводится в книге [14]. Теория обобщен-
ных симметрий для функционалов в деталях изложена также в [4].
25
Приведем также квазистатический аналог:
,
R
()δδ⋅⋅ +⋅ =Sx PX∇ 0
где по-прежнему — тензор напряжений Пиола–Кирхгофа, — тензор напряже-S P
ний Эшелби, и соответствующий инвариантный интеграл:
()dδδ⋅+⋅ ⋅ =0
∫
Sx PX
v
S
S
для любой замкнутой в отсчетной конфигурации поверхности S , внутри которой упру-
гое поле регулярно.

Страницы