Нелинейная теория упругости как физическая теория поля. Радаев Ю.Н - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

()
()
αλ
βγβ
λ
βγβ
ϕϕ ϕ
ϕϕ ϕ
∂Φ ∂ ∂ ∂
′
∂∂∂ =
∂
, , ,...,
,, ,...,
kk k
kk k
a
X
X
X
L
. (7.3)
Представимость лагранжиана в форме полной дивергенции (7.3) явля-
ется необходимым и достаточным условием того, чтобы он был нулевым.
Достаточность проверяется прямым вычислением оператора Эйлера в
применении к (7.3). Необходимость также без труда обосновывается. Мы
приведем доказательство, существенно использующее звездообразную
геометрию области определения лагранжиана (см. Олвер П. Приложения
групп Ли к дифференциальным уравнениям. М: Мир, 1989. с. 322, 323).
Предположим, что лагранжиан
()
β
βγβ
ϕϕ ϕ
′
∂∂∂, , ,...,
kk k
XL
есть лагранжиан пустого пространства, определенный и регулярный в не-
которой области изменения аргументов , звездообраз-
ной относительно нулевой точки.
βγβ
ϕϕ ϕ∂∂∂,, ,
kk k
...
]
Рассмотрим значения лагранжиана на лучах, исходящих из нулевой
точки. Для этого введем параметр , изменяющийся на отрезке .
Пользуясь звездообразной геометрией области, можно заключить, что
функция от
ε
[]
0, 1
ε
()
β
βγβ
εϕ ε ϕ ε ϕ
′
∂∂∂, , ,...,
kk k
XL
корректно определена и регулярна на отрезке . Дифференцирование
по параметру приводит к следующему результату:
[
0, 1
ε
()
β
βγβ γ
γ
εϕ ε ϕ ε ϕ ϕ ϕ
εϕ
⎛⎞
′′
∂∂
⎟
⎜
⎟
′
∂∂∂ = +⎜ ∂
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
∂∂∂
⎝⎠
, , ,..., ( )
()
kk k k k
kk
d
X
d
LL
L
ϕ
+
(7.4)
γβ
γβ
ϕ
ϕ
⎛⎞
′
∂
⎟
⎜
⎟
+⎜ ∂ ∂ +
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
∂∂∂
⎝⎠
( ) ...
()
k
k
L
.
Замечая, что
P
γ
PP
βγ γβ
∂=∂
0PdX
γ
γ
=
обобщение на многомерный случай требования односвязности плоской области так,
чтобы по-прежнему для поля , удовлетворяющего условиям совместности
, было справедливо заключение о том, что его циркуляция по любому
замкнутому контуру равна нулю:
∫
v
.
38
Требование о звездообразной форме области может быть несколько ослаблено. В ча-
стности, речь может идти об областях, каждая точка которой достижима из некоторой
фиксированной точки области по двузвенной ломанной, целиком расположенной внут-
ри области: одно из звеньев ломанной всегда располагается в некоторой фиксирован-
ной гиперплоскости, а второе — перпендикулярно этой гиперплоскости. Вопрос о
форме нулевого лагранжиана в областях, отличающихся от звездообразной, нуждается
в дополнительном исследовании.

Страницы