Нелинейная теория упругости как физическая теория поля. Радаев Ю.Н - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

.
()
ββ λ
γγα
εϕ ε ϕ ε ϕ εΨ= Ψ ∂ ∂∂
∫
1
0
, , ,...,
kk k
Xd
Выбирая далее поле
β
Ψ
так, чтобы
(
)
λβ
β
′
=∂ Ψ0, 0, 0, ..., X
L
.
что заведомо возможно и многими способами,
28
и обозначая
ββ
Φ=Ψ+Ψ
β
,
приходим к дивергентному представлению лагранжиана пустого простран-
ства:
(
)
(
)
λβ
γγα β γγα
ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ
′
∂∂∂ =∂Φ ∂∂∂, , ,..., , , ,...,
kk k kk k
XXL
λ
.
Плотность лагранжиана в 4-пространстве–времени, таким образом,
всегда определяется с точностью до аддитивной полной дивергенции 4-
вектора, зависящего от переменных поля, включая и градиенты поля.
29
По-
этому приходится также учитывать то обстоятельство, что в результате
подсчета указанная дивергенция на самом деле может зависеть от градиен-
тов поля, порядка более высокого, чем сам 4-вектор .
γ
Φ
7.2. Вычисление нулевого лагранжиана нелинейно упругого поля
в трехмерном пространстве
Вычисление нулевого лагранжиана, зависящего лишь от первых гра-
диентов статического трехкомпонентного поля в трехмерном пространст-
ве, особенно интересно в связи с исследованием нелинейно упругого поля
в деформируемом твердом теле.
Если размерность пространства равна трем и , то ла-
гранжиан пустого пространства, зависящий от градиентов поля порядка не
выше первого, всегда можно разложить в сумму
β
X
= 1, 2, 3k
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
ββββ
ββ
ββ β
β
ϕϕ ϕ ϕ ϕ
ϕϕ
⋅
⋅
⋅
⋅
′
∂= + ∂
+∂+
,, , ,
,,
kk k k k
k
kk k
k
XAXB X
CXJXDXJ
L
+
,
(7.5)
где
(
)
β
ϕ ,
k
AX
, ,
()
ββ
ϕ
⋅
⋅
,
k
k
BX
(
)
β
β
ϕ
⋅
⋅
,
kk
CX
, — некоторые поля,
зависящие от пространственно-временных координат и физических
полей
ϕ
,
(
β
ϕ ,
k
DX
)
α
X
k
30
J — якобиан отображения :
β
ϕ→=
kk
Xx
28
Действительно, поле
α
Ψ по заданной дивергенции можно разыскивать в безвихре-
вом виде. Для определения потенциала тогда имеется уравнение Пуассона, разреши-
мость которого гарантирована, если правая часть этого уравнения — непрерывная
функция пространственно-временных координат . X
β
29
Как следует из (7.3), естественное представление вектора — 1-контравариантное
отсчетное.
β
Φ
40
30
Выражения для , , , , как будет показано ниже, не могут быть выбраны
произвольно.
A
k
B
β⋅
⋅
k
C
β
⋅
⋅
D

Страницы