ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
(
)
β
ϕ=∂det
k
J
.
Приведенное только что соотношение может быть переписано в пря-
мую тензорную запись:
(
)
(
)
(
)
(
)
−
′
=+ ⋅ ⊗ + ⋅ ⊗ +
1
tr trAJ
XX
BCL ∇∇ϕϕJD
, (7.6)
где
(
)
β
β
ϕ
⋅
⋅
⊗=∂
k
k
X
∇ ϕ
.
Непосредственный расчет показывает, что полная дивергенция трех-
мерного векторного поля , зависящего от трех координат , трех ком-
понент поля
ϕ
и их градиентов порядка не выше первого, также будет за-
висеть от градиентов поля порядка не выше первого, только если
γ
Φ
β
X
k
(
)
(
)
(
)
(
)
γβγβγβλ
ββ
ϕϕ ϕ ε ϕ ϕΦ∂ = +∂,, , ,
kk s k s
k
XLX K X
β
λ
+
(7.7)
(
)
(
)
γβ
ϕ+∂ ,
ks
k
JXM X
,
где
,
()
γγ
ϕ= ,
k
LL X
β
(
)
α
ββ
ϕ= ,
k
kk
KK X
,
(
)
β
ϕ= ,
ssk
MM X
— произвольные поля.
Прямая запись уравнения (7.7) есть:
(
)
(
)
(
)
×
−
=+ ⊗ ⋅ + ⊗ ⋅
T
J
XX
LKΦ∇ ∇ϕϕM
,
где крестом (крест Гиббса (Gibbsian cross)) обозначается векторный инва-
риант тензора второго ранга:
(
)
γ
γβλ
βλ
ε
×
= AA
.
31
С целью обоснования (7.7) вычислим полную дивергенцию поля
как
()
γβ
β
ϕϕΦ∂,,
kk
X
γγ γ γ
γ
γγ
β
ϕϕ
ϕϕ
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
=+∂+∂∂
⎜
⎟
⎜⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝⎠
⎟
⎜
∂∂ ∂ ∂∂
⎝⎠
⎝⎠
expl
() (
()
kk
kk
XX
γβ
). (7.8)
Полная дивергенция не зависит от частных производных
ϕ∂
∂
2
12
()
k
X
,
ϕ∂
∂
2
22
()
k
X
,
ϕ∂
∂
2
32
()
k
X
,
только если
ϕ
∂Φ
=
∂∂
1
1
0
()
k
,
ϕ
∂Φ
=
∂∂
2
2
0
()
k
,
ϕ
∂Φ
=
∂∂
3
3
0
()
k
(
)
= 1, 2, 3k . (7.9)
Но это означает, что компонента не зависит от
β
Φ
β
ϕ∂
k
(
)
= 1, 2, 3k .
Аналогично должны выполняться условия
31
Заметим, что векторный инвариант диадного произведения двух векторов трехмер-
ного пространства есть векторное произведение векторов, составляющих диаду:
.
()
×
⊗=×ab ab
41
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- …
- следующая ›
- последняя »
