Нелинейная теория упругости как физическая теория поля. Радаев Ю.Н - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

γγ γ
γγ
ϕϕϕ
ϕϕ
⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞
′′
∂∂
⎟⎟
⎜⎜ ⎜
⎟⎟
∂⎜ =∂⎜ −∂⎜
⎟⎟
⎜⎜ ⎜
⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜ ⎜
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠
()
() () ()
kkk
kk
LL
γ
ϕ
′
∂
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
k
L
,
γβ γβ γβ
γβ γβ γβ
ϕϕϕ
ϕϕ
⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞
′′
∂∂
⎟⎟
⎜⎜ ⎜
⎟⎟
∂∂ ⎜ =∂∂ ⎜ − ∂∂ ⎜ −
⎟⎟
⎜⎜ ⎜
⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜ ⎜
∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂
⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠
()
() () ()
kkk
kk
LL
ϕ
′
∂
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
k
L
βγ
γβ
ϕ
ϕ
⎛⎞
′
∂
⎟
⎜
⎟
−∂ ∂⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
∂∂∂
⎝⎠
2( )
()
k
k
L
,
а также
γβ βγ β γ
γβ βγ γβ
ϕϕϕ
ϕϕ
⎛⎞⎛ ⎞⎛
′′
∂∂
⎟⎟
⎜⎜⎜
⎟⎟
∂∂ ⎜ =∂∂ ⎜ −∂ ⎜ ∂ +
⎟⎟
⎜⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜⎜
∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂
⎝⎠⎝ ⎠⎝
() 2
() () ()
kkk
kk
LL
ϕ
⎞
′
∂
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
k
L
γβ
γβ
ϕ
ϕ
⎛⎞
′
∂
⎟
⎜
⎟
+∂∂⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
∂∂∂
⎝⎠
()
k
k
L
или, вводя сокращенные обозначения для дифференциальных операторов
, ,
αβγ
∂=∂∂∂
J
...
αβγ
−∂ = −∂ −∂ −∂
J
()()()()...
,
αβγJ = ( , , ,...)
находим формулу
β
β
ϕϕ
ϕϕ
⎛⎞ ⎛⎞
′′
∂∂
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
∂=−∂+
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
∂∂ ∂∂
⎝⎠ ⎝⎠
JJ
JJ
() ()
() ()
kk
kk
LL
∂Ψ
,
где — некоторое векторное поле, также зависящее от полей , их
градиентов и пространственно-временных координат .
β
Ψ
ϕ
k
β
X
Ясно, что оператор Эйлера (вариационная производная лагранжиана
) вычисляется в форме
L
δ
δϕ ϕ
⎛⎞
′′
∂
⎟
⎜
⎟
=−∂
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
∂∂
⎝⎠
J
J
()
()
kk
LL
.
Для производной (7.4), следовательно, находим формулу
()
β
βγβ β
β
εϕ ε ϕ ε ϕ ϕ
εϕ
⎧
⎛⎞
⎪
′′
∂∂
⎟
⎪
⎜
⎟
′
∂∂∂ = −∂
⎜
⎨
⎟
⎜
⎟
⎪
⎟
⎜
∂∂∂
⎝⎠
⎪
⎩
, , ,...,
()
kk k k
kk
d
X
d
LL
L
ϕ
+
β
γβ β
γβ
ϕ
⎫
⎛⎞
⎪
′
∂
⎟
⎪
⎜
⎟
+∂ ∂ ⎜ − + ∂ Ψ
⎬
⎟
⎜
⎟
⎪
⎟
⎜
∂∂∂
⎝⎠
⎪
⎭
...
()
k
L
.
Принимая во внимание, что есть лагранжиан пустого пространст-
ва, т.е. для любого поля
ϕ
его вариационная производная равна нулю, по-
лучим, интегрируя по на отрезке
[]
,
′
L
k
ε
0, 1
(
)
(
)
λλ
γγα β
ϕϕ ϕ
′′
∂∂∂ − =∂Ψ, , , ..., 0, 0, 0, ...,
kk k
XX
LL
β
,
где
39

Страницы