Нелинейная теория упругости как физическая теория поля. Радаев Ю.Н - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

ϕϕ
∂Φ ∂Φ
+=
∂∂ ∂∂
12
21
0
()()
kk
,
ϕϕ
∂Φ ∂Φ
+
∂∂ ∂∂
13
31
0
()()
kk
=
, (7.10)
ϕϕ
∂Φ ∂Φ
+=
∂∂ ∂∂
23
32
0
()()
kk
,
чтобы была исключена зависимость от смешанных частных производных
ϕ∂
∂∂
2
1
k
XX
2
,
ϕ∂
∂∂
2
1
k
XX
3
,
ϕ∂
∂∂
2
23
k
XX
.
На основании (7.9), (7.10) можно заключить, что компоненты вы-
ражаются через первые градиенты поля как
β
Φ
,
ϕϕ ϕ ϕ
′′′
′′′
Φ= ∂ ∂ + ∂ + ∂ +
1 1
23 2 3
()( )()()
kk k k
kk
kk
abch
h
h
, (7.11)
ϕϕ ϕ ϕ
′′′
′′′
Φ= ∂ ∂ + ∂ + ∂ +
2 2
13 1 3
()( )()()
kk k k
kk
kk
efg
,
ϕϕ ϕ ϕ
′′′
′′′
Φ= ∂ ∂ + ∂ + ∂ +
3 3
12 1 2
()( )()()
kk k k
kk
kk
pqs
где
, , ,
β
ϕ
′′′
(, )
k
kk
aX
β
ϕ
′′′
(, )
k
kk
eX
β
ϕ
′′′
(, )
k
kk
pX
,
β
ϕ(, )
k
k
bX
β
ϕ(, )
k
k
f
X , ,
β
ϕ(, )
k
k
qX
, , , .
β
ϕ(, )
k
k
cX
β
ϕ(, )
k
k
gX
β
ϕ(, )
k
k
sX
β
ϕ(, )
kk
hX
Действительно, поскольку, например, компонента не зависит от
частных производных , а — от , то два первых уравнения в
(7.10) устанавливают, что может зависеть от градиента только ли-
нейно с коэффициентом, линейно зависящим от , и, наоборот, мо-
жет зависеть от градиента только линейно с коэффициентом, линей-
но зависящим
ϕ
2
k
. Учитывая еще, что компонента
Φ
1
не зависит от
градиент
ϕ
1
k
, сразу же приходим к представлению (7.11) д
Φ
Φ
2
ϕ∂
2
k
Φ
3
ϕ∂
3
k
Φ
1
ϕ∂
2
k
ϕ∂
3
k
Φ
1
ϕ∂
3
k
от
ов
∂
ля .
0
0
0
∂
1
Подставляя (7.11) в (7.10), находим, что для любых градиентов поля
должны удовлетворяться соотношения
,
ϕ
′′
′′ ′′
+∂++=
3
()()
k
kk
kk kk
ea fb
, (7.12)
ϕ
′′
′′ ′′
+∂++=
2
()()
k
kk
kk kk
ap cq
,
ϕ
′
′′
+∂++=
1
()()
k
kk
kk kk
ep gs
откуда следуют равенства
, , ;
′′
=−
kk kk
ea
′′
=−
kk k k
pa
′′
=−
kk k k
aa
=−
kk
f
b
, , ,
=−
kk
qc =−
kk
sg
пользуясь которыми формулы (7.11) представим в виде
,
ϕϕ ϕ ϕ
′′′
′′′
Φ= ∂ ∂ + ∂ + ∂ +
1 1
23 2 3
()( )()()
kk k k
kk
kk
abch
42

Страницы