Нелинейная теория упругости как физическая теория поля. Радаев Ю.Н - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Учитывая, во-первых, что в выражении для лагранжиана пустого про-
странства коэффициент при второй частной производной (по
не суммировать) должен быть нулевым, можно заключить, что должны
выполняться условия:
′
L
ββ
ϕ∂∂()
k
β
β
β
ϕ
∂Φ
=
∂∂
0
()
k
(по
β
не суммировать),
т.е. компонента не зависит от ( ).
γ
Φ
γ
ϕ∂()
k
= 1,km
Во-вторых, лагранжиан пустого пространства не зависит от сме-
шанных частных производных (
α
) только при условии
′
L
αβ
ϕ∂∂()
k
β≠
λμ
μλ
ϕϕ
∂Φ ∂Φ
+
∂∂ ∂∂
0
()()
kk
=
)
α
1
3
ϕ
k
+...
( ). (7.21)
αβ≠
Положим , и, используя то обстоятельство, что
от
производной не зависит, получим, что
линейно зависит от
производной , т.е.
λα=
1
μα=
2
α
Φ
2
α
ϕ∂
2
2
(
k
α
Φ
1
α
ϕ∂
2
2
()
k
(по не суммировать), (7.22)
ααα
α
ϕΦ= ∂ +
1122
22
k
k
ab
α
2
,
2
k
где коэффициенты
и не зависят от производной .
αα
12
2
k
a
α
1
b
α
ϕ∂
2
2
k
Затем, подставляя выражение (7.22) для в соотношение (7.21) при
, , , получим, что
и линейно зависят от про-
изводной .
α
Φ
1
λα=
1
μα=
3
αα≠
1
αα
12
2
k
a
α
1
b
α
ϕ∂
3
3
()
k
Продолжая рассуждения дальше, заключаем, что поле можно
представить в виде многочлена по возрастающим степеням градиентов
:
γ
Φ
α
ϕ∂
k
(7.23)
γ γ γα γα α
ααα
ϕϕ
⋅⋅⋅
⋅⋅ ⋅⋅ ⋅
Φ= + ∂ + ∂ ∂ +
11 211 2
11 21 1 2
() ()()
kk
kkk
AB C
,
γα α α
αα α
ϕϕϕ
⋅⋅⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅
+∂∂∂
321 1 2 3
321 1 2 3
()()()
kkk
kkk
D
где коэффициенты , , , могут зависеть от ,
ϕ
, и
не выписаны полиномиальные по градиентам слагаемые более высоких
степеней.
γ
A
γα ⋅
⋅⋅
1
1
k
B
γα α⋅⋅
⋅⋅ ⋅
21
21
kk
C
γα α α⋅⋅⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅
321
321
kkk
D
β
X
k
Подставляя (7.23) в (7.21), получим
,
γα α γ⋅⋅
⋅⋅ ⋅⋅
=−
11
11
kk
BB
т.е. коэффициенты антисимметричны по индексам , ; аналогично
заключаем, что коэффициенты антисимметричны по парам индек-
сов , и , ; коэффициенты антисимметричны по парам
индексов , ; , ; , ; и т.д. для всех невыписанных в (7.23) коэф-
фициентов.
γα ⋅
⋅⋅
1
1
k
B
γ
α
1
γα α⋅⋅
⋅⋅ ⋅
21
21
kk
C
γ
α
1
γ
α
2
γα α α⋅⋅⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅
321
321
kkk
D
γ
α
1
γ
α
2
γ
α
3
47

Страницы