Нелинейная теория упругости как физическая теория поля. Радаев Ю.Н - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Из антисимметричности коэффициентов по индексам , и
, получаются следующие равенства:
γα α⋅⋅
⋅⋅ ⋅
21
21
kk
C
γ
α
1
γ
α
2
переставляя ,
α
: γ
1
;
γα α α α γ⋅⋅ ⋅⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅
=−
21 12
21 21
kk kk
CC
переставляя
α
,
α
:
1 2
;
αα γ αα γ⋅⋅ ⋅⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅
=−
12 12
21 21
kk kk
CC
переставляя ,
α
: γ
2
.
αα γ γα α⋅⋅ ⋅ ⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅
=−
21 1 2
21 21
kk kk
CC
Откуда следует, что коэффициенты антисимметричны по паре
греческих индексов
α
,
α
.
γα α⋅⋅
⋅⋅ ⋅
21
21
kk
C
1 2
Аналогично доказывается, что коэффициенты антисиммет-
ричны по любой паре греческих индексов,
γα α α⋅⋅⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅
321
321
kkk
D
34
и все остальные коэффициен-
ты в (7.23) также антисимметричны по любой паре греческих индексов.
48
ϕ
k
+...
)
1
k
)
Таким образом, для любого, отличного от нуля, коэффициента в (7.23)
все греческие индексы должны быть различны, но у греческих индексов
может быть всего четыре различных значения 1,2,3,4, и поэтому более че-
тырех различных верхних индексов у коэффициентов в (7.23) быть не мо-
жет, т.е. в разложении (7.23) невыписанные слагаемые на самом деле от-
сутствуют:
(7.24)
γ γ γα γα α
ααα
ϕϕ
⋅⋅⋅
⋅⋅ ⋅⋅ ⋅
Φ= + ∂ + ∂ ∂ +
11 211 2
11 21 1 2
() ()()
kk
kkk
AB C
.
γα α α
αα α
ϕϕϕ
⋅⋅⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅
+∂∂∂
321 1 2 3
321 1 2 3
()()()
kkk
kkk
D
Рассмотрим теперь индивидуальные суммы в (7.24). Переставляя в
сумме
γα α
αα
ϕϕ
⋅⋅
⋅⋅ ⋅
∂∂
21 1 2
21 1 2
()(
kk
kk
C
у коэффициентов индексы
α
,
α
, находим:
γα α⋅⋅
⋅⋅ ⋅
21
21
kk
C
1 2
,
γα α γα α
αα αα
ϕϕ ϕϕ
⋅⋅ ⋅⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅
∂∂=− ∂∂
21 1 2 12 1 2
2112 2112
()() ()()
kk kk
kk kk
CC
и переименовывая по схеме , , , немые ла-
тинские и греческие индексы, приходим к следующим равенствам:
αα→
12
αα→
21
→
12
kk →
2
k
.
γα α γα α γα α
αα αα αα
ϕϕ ϕϕ ϕϕ
⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅
∂ ∂ =− ∂ ∂ =− ∂ ∂
21 1 2 21 1 2 21 1 2
21 1 2 21 2 1 12 1 2
()() ()() ()(
kk kk kk
kk kk kk
CCC
Следовательно, коэффициенты антисимметричны по паре ла-
тинских индексов , .
γα α⋅⋅
⋅⋅ ⋅
21
21
kk
C
1
k
2
k
34
Последнее означает, что для коэффициентов справедливо также следующее
представление:
321
321
kkk
D
γα α α⋅⋅⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅
,
321 321
321 321
kkk kkk
DD
γα α α γα α α
ε
⋅⋅⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅
=
где — антисимметричный 3-ковариантный пространственный тензор.
321
kkk
D

Страницы