Нелинейная теория упругости как физическая теория поля. Радаев Ю.Н - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

αα α α
αααα
⋅⋅⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
∂
=
∂
43 2 1
321
4321
4321
4
kkk
kkkk
k
D
L
x
и представим лагранжиан пустого 4-мерного пространственно-временного
многообразия в форме
(7.26)
ααα
ααα
ααα
αα α
αααα
αα α α
ϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕϕ
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
′
=+ ∂ + ∂ ∂ +
+∂∂∂
+∂∂∂∂
11211 2
11 21 1 2
321 1 2 3
321 1 2 3
4321 1 2 3 4
4321 1 2 3 4
() ()()
()()()
()()()().
kk
kkk
kkk
kkk
kkkk
kkkk
AL L
L
L
L
ϕ
+
k
ϕ
+
k
Заметим, что в этом представлении нулевого лагранжиана все коэф-
фициенты могут быть антисимметризованы по нижним латинским индек-
сам, поскольку, как нетрудно проверить, все они
, ,
αα⋅⋅
⋅⋅
21
21
kk
L
ααα⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
321
321
kkk
L
αααα⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
4321
4321
kkkk
L
антисимметричны по любой паре латинских индексов.
Формула (7.26), следовательно, может быть также записана в форме
(7.27)
ααα
ααα
ααα
αα α
αααα
αα α α
ϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕϕ
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
′
=+ ∂ + ∂ ∂ +
+∂∂∂
+∂∂∂∂
1121 1 2
11 21 1 2
321 1 2 3
321 1 2 3
4321 1 2 3 4
4321 1 2 3 4
[]
[]
[]
() ()()
()()()
()()()( ),
kk
kkk
kkk
kkk
kkkk
kkkk
AL L
L
L
L
где квадратные скобки применяются для обозначения операции альтерни-
рования по заключенным в них индексам.
В дальнейшем можно считать, что
,
αα αα⋅⋅ ⋅⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅
=
21 21
21 21
[]kk kk
LL
,
ααα ααα⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
⋅⋅⋅ ⋅ ⋅⋅
=
321 321
321 321
[]kkk kkk
LL
.
αααα αααα⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅⋅⋅
=
4321 4321
4321 4321
[]kkkk kkkk
LL
Подставляя (7.26) в уравнение Эйлера—Лагранжа (7.2) и приравнивая
нулю последовательно суммы коэффициентов при одинаковых степенях
градиентов полевых величин , можно получить условия совместности
для коэффициентов в разложении (7.26).
ϕ
k
Так, условие равенства нулю суммы коэффициентов при нулевой сте-
пени градиентов есть:
α
α
⋅
⋅
⎛⎞
∂∂
⎟
⎜
−
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
∂∂
1
1
11
expl
0
k
k
A
L
xX
=
, (7.28)
или также
γα
γα
γα γ
⋅
⋅⋅
⎛⎞
⎛⎞
∂
⎛⎞
∂∂ ∂∂
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
−+
⎟
⎟⎜
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
⎜
∂∂ ∂ ∂ ∂
⎟
⎝⎠
⎝⎠
1
1
1
111
expl
expl
expl
0
k
kk
B
AA
xX X x X
=
. (7.29)
Ясно, что это условие совместности тождественно удовлетворяется в
силу
50

Страницы