Нелинейная теория упругости как физическая теория поля. Радаев Ю.Н - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

ααα ααα ααα ααα ααα ααα ααα
ααα ααα ααα ααα ααα
=−−−++
+++−−−
321 321 321 321 321 321 321
1234 1234 3214 1324 2134 2314 3124
321 321 321 321 321
4213 1423 2143 4123 1243
[]
1
(
4!
kkkk kkkk kkkk kkkk kkkk kkkk kkkk
kkkk kkkk kkkk kkkk kkkk
P PPPPPP
PPPPPP
ααα
ααα ααα ααα ααα ααα ααα
ααα ααα ααα ααα ααα
−
−−−++++
+++−−−
321
2413
321 321 321 321 321 321
4312 1432 3142 3412 1342 4132
321 321 321 321 321
4321 2431 3241 3421 2341 423
kkkk
kkkk kkkk kkkk kkkk kkkk kkkk
kkkk kkkk kkkk kkkk kkkk kkk
PPPPPP
PPPPPP
ααα
321
1
).
k
+
+1,2,..., 1)n : о
k
7.4. Вычисление нулевого лагранжиана пространства произвольной
размерности
Приведенные рассуждения о форме лагранжиана пустого пространст-
ва без труда обобщаются на случай произвольного числа пространственно-
временных координат
( векторное поле Φ пределя-
ется в виде
β
X
β =
γ
(7.35)
γγγα γαα
ααα
ϕϕϕ
⋅⋅⋅
⋅⋅ ⋅⋅ ⋅
Φ= + ∂ + ∂ ∂ + +
11 211 2
11 21 1 2
() ()()...
kkk
kkk
AA A
γα α α
αα α
ϕϕϕ
−−
−−
⋅⋅⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅
+∂∂∂
11 1 1
11 1 1
...
...
( )...( )( ),
nn n n
nn n n
kk
kk k
A
где тензоры
(
)
γβ
,
s
AXx, ,
()
γα β⋅
⋅⋅
1
1
,
s
k
AXx
(
)
γα α β⋅⋅
⋅⋅ ⋅
21
21
,
s
kk
AXx, … ,
()
γα α α β
−
−
⋅⋅⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅
11
11
...
...
,
nn
nn
s
kk k
AXx
антисимметричны по любой паре латинских и любой паре греческих ин-
дексов.
35
Вычисляя дивергенцию поля , определенного согласно (7.35), на-
ходим выражение для лагранжиана пустого пространства в случае ( )-
мерного пространственно-временного многообразия:
γ
Φ
+ 1n
γα
γγ α
α
γγ γ
ϕ
⋅
⋅⋅
⎛⎞
⎛⎞
∂
⎛⎞
∂Φ ∂ ∂
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
′
⎜
== + + ∂
⎟
⎟⎜
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
⎜
∂∂ ∂∂
⎟
⎝⎠
⎝⎠
1
1
1
1
1
1
expl
expl
()
k
k
k
A
AA
XX x X
L
+
αα γα α
αα
γ
ϕϕ
⋅⋅⋅
⋅⋅ ⋅⋅ ⋅
⎛⎞
⎛⎞
∂∂
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
++ ∂∂+
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
∂∂
⎟
⎝⎠
⎝⎠
21 2 1
121
12
12
2
expl
()()...
kkk
kk
k
AA
xX
+
(7.36)
αα α γα α α
αα α
γ
ϕϕϕ
−−
−−
−
−
⋅⋅ ⋅ ⋅⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
⎛⎞
⎛⎞
∂∂
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
++ ∂∂∂
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
∂∂
⎟
⎝⎠
⎝⎠
11 11
11 11
11
11
... ...
... ...
expl
( )...( )( )
nn n n
nnn
nn
nn
n
kk kkk
kk
k
AA
xX
+
k
γα α α
αα αγ
ϕϕϕϕ
−
−
+
−
−
+
⋅⋅⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅
∂
+∂∂∂∂
∂
11
11
1
11
11
1
...
...
( )...( )( )( )
nn
nn
n
nn
nn
n
kk k
k
kkk
k
A
x
.
⋅
35
Применительно к тензору антисимметричность по любой паре греческих
индексов означает, что
11
11
...
...
nn
nn
kk k
A
γα α α
−
−
⋅⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅
,
11 11
11 11
... ...
... ...
nn nn
nn nn
kk k kk k
AA
γα α α γα α α
ε
−−
−−
⋅⋅⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅
=
52
где — антисимметричный -ковариантный пространственный тензор.
11
...
nn
kk k
A
−
n

Страницы